¿Es cierto que si una composición de funciones es lineal, entonces las dos funciones de las que está compuesta son también lineales?
es decir. $f_i(x) = g_i(T(x))$ donde $f_i$ es lineal. ¿Implica esto $T$ es lineal? Para esta pregunta específica, también tenemos $g_i$ es lineal.
Si $f(x)=g(T(x))$ , $f$ y $g$ son lineales, y $g$ es invertible entonces $T(x)=g^{-1}(f(x))$ es lineal, porque la inversa de una función lineal es lineal, y una composición de funciones lineales es lineal. Sin embargo, si $g$ no es uno a uno, $T$ puede tener un comportamiento no lineal que se oculta al mapear en partes del dominio de $g$ que todos se asignan al mismo punto. Por ejemplo, si $g(x)=0$ y $T(x)=e^x$ entonces $g$ y $f$ son lineales pero $T$ no lo es.
No. La composición en no lineal puede ser lineal.
Considere las funciones $\mathrm h(x)=\frac{1}{x}$ y $\mathrm k(x)=\frac{1}{x}$ , donde $x>0$ .
Tenemos $(\mathrm h \circ \mathrm k)(x) = x$ para todos $x>0$ :
$$(\mathrm h \circ \mathrm k)(x) = \frac{1}{1/x}\equiv x$$
Se trata de una función lineal, pero ni h ni k son lineales.
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Una nueva redacción podría ayudar a clarificar; si pretende que $g_i$ sea también lineal, tendría sentido mencionarlo antes, antes de preguntar si las condiciones implican que $T$ es lineal.
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No, no siempre es cierto. Toma el cuadrado y la raíz cuadrada más la constante. $\sqrt{x^2}+C$ es lineal en los reales positivos, pero ninguno de los dos, ni el cuadrado ni la raíz + C, lo es.