Subconjuntos finitos de conjuntos contables e incontables

Question

Si tomo todos los subconjuntos de exactamente el tamaño de la $n$ (donde $n$ es algunos fijos número natural) a partir del conjunto de naturales los números, y los puso en un conjunto, entonces el resultado es una contables de ajuste (un conjunto que contiene a todos los subconjuntos de tamaño $n$).

Si yo hago lo mismo, pero esta vez tomando el subconjuntos (de tamaño $n$ - voy a llamar a $n$-subconjuntos) de los reales, entonces el resultado es una multitud innumerable.

Puede por favor alguien que me explique por qué este es el caso? Y tal vez cómo mostrar? Supongo que es porque los números naturales contienen una contables de número de $n$-subconjuntos, y los reales contienen un número incontable de $n$-subconjuntos. Pero no sé cómo formalizar esta.

Gracias de antemano

Answer 1

Deje$n$ ser solo$1$. El conjunto de todos los subconjuntos de un elemento de los reales ya es incontable ya que es equivalente al conjunto de reales.

Entonces la pregunta más difícil es por qué el conjunto de$n$ - touples de números naturales es contable. ¡Es fácil! Tome$n$ números primos diferentes:$p_1,p_2,...,p_n$ y observe que un$n$ - tupla de los naturales$\{n_1,n_2,...n_n\}$ determinan un número natural

ps

De esta forma puedes construir solo un subconjunto de los naturales ...

Answer 2

Podemos (injectively) mapa el conjunto de $n$-subconjuntos de un conjunto $X$ a $X^n$, de ahí que en la mayoría de los tantos $n$-se establece como therre son $n$-tuplas - y en el caso de los infinitos $X$ tenemos $|X|=|X^n|$. Esto muestra que hay en la mayoría de los tantos $n$-se establece como elementos de la si $X$ es infinito.

Si $X=\mathbb N$, también podemos injectively mapa de $X$ para el conjunto de la $n$-subconjuntos de a $X$ mediante la asignación de $a\mapsto \{a,a+1,\ldots,a+n-1\}$. Más generalmente, si $X$ es infinito, se puede escribir como distinto de la unión de contables subconjuntos y repetir esta construcción por tramos. Esto demuestra que hay al menos tantos $n$-se establece como elementos de la si $X$ es infinito.

En resumen, la cardinalidad del conjunto de $n$-subconjuntos de a $X$ es igual a la cardinalidad de a $X$ (si $X$ es infinito).

Answer 3

Si el conjunto$A_i$ es tal que$|A_i|=n$ y$$\mathbb R=\bigcup_{i\in\mathcal I}A_i$ $, entonces la unión no es contable ya que$\mathbb R$ no es contable.