Doble de los números Primos entre $n$ $2n$

Question

Es teóricamente posible que no siempre sea un gemelo primer par entre $n$ $2n$ para todos lo suficientemente grande $n$ (asumiendo, por supuesto, que hay infinitamente muchos de los números primos gemelos) o en contradicción con Brun Teorema? Gracias.

Answer 1

Brun del teorema se sigue de que el obligado $$\pi_2(x) = O\left(\frac{x(\log\log x)^2}{(\log x)^2}\right),$$ donde $\pi_2(x)$ es el número de camas de los números primos menos de $x$. Por otro lado, la existencia de dos números primos entre cada una de las $n$ $2n$ sólo implica $\pi_2(x) = \Omega(\log x)$ (como a Mí notas en los comentarios), así que no hay ninguna contradicción.

Por otra parte, se conjeturó que $\pi_2(x) \sim 2C_2 \displaystyle\frac{x}{(\log x)^2}$ para algunas constantes $C_2$. Esto implica que para lo suficientemente grande como $n$, existen muchos doble de los números primos entre cada una de las $n$ $2n$ (de hecho, aproximadamente el $C_2 \displaystyle\frac{n}{(\log n)^2}$).