¿Existe algún "superlogaritmo" o algo para resolver $x^x$ ?

Question

¿Existe algún "superlogaritmo" o algo así para resolver una ecuación como ésta?

$$x^x = 10?$$

Answer 1

Lo que estás buscando es el Lambert $W$ función. Esta es la función tal que: $$W(xe^x) = x$$

No tiene una forma "simple" o explícita.

Para resolver su ecuación, seguimos este proceso: $$x^x = 10$$ $$x\ln x = \ln10$$ $$e^{\ln x}\ln x = \ln10$$ $$W(e^{\ln x}\ln x) = W(\ln10)$$ $$\ln x = W(\ln10)$$ $$x = e^{W(\ln10)}$$

Answer 2

Sí, se llama Función Lambert W . Desplácese hacia abajo y eche un vistazo al Ejemplo 2.

Answer 3

Los Lambert $W$ es técnicamente una función multivaluada. Las ecuaciones como la suya también pueden resolverse con una función de un solo valor más sencilla, la Wright $\omega$ función (véase también Corless y Jeffrey 2002 ), que se define con respecto a la norma de Lambert $W$ . Los Lambert $W$ por su definición es la opción natural para funciones exponenciales como la suya, mientras que el Wright $\omega$ se adapta mejor a los logarítmicos (por ejemplo $z = \omega+\text{ln}(\omega)$ ), pero a menudo se puede transformar entre los dos. En su caso, los dos son equivalentes a través de:

$$x^x = a \rightarrow x = \frac{\ln a}{W_0(\ln a)} = \frac{\ln a}{\omega(\ln(\ln a))}$$

para $a \in \mathbb{Z}$ y donde $W_0$ es la rama superior (principal) de la curva de Lambert $W$ función.

Si necesita valores numéricos, el sistema Wright $\omega$ puede ser más fácil y eficiente de calcular. Para $z = \ln(\ln 10)) \approx 0.834032...$ (y real $z \in [-1, 2]$ ), lo siguiente es una aproximación para $\omega(z)$ :

$$\omega(z) \approx 1 + \frac{1}{2}(z−1) + \frac{1}{16}(z−1)^2 − \frac{1}{192}(z−1)^3 − \frac{1}{3072}(z−1)^4 + \frac{13}{61440}(z−1)^5...$$

La caja de herramientas simbólica de Matlab tiene soporte incorporado a través de wrightOmega , al igual que Maple con Wrightomega . Además, he implementado los Wright $\omega$ función para la evaluación compleja de doble precisión en Matlab basado en un artículo de 2012 de Lawrence, Corless y Jeffrey - es de 3 a 4 órdenes de magnitud más rápido que realizar cálculos de precisión variable/simbólica.