¿Qué es Yoneda del Lexema una generalización?

Question

¿Qué es Yoneda del Lexema una generalización?

Estoy buscando ejemplos que eran conocidos antes de la categoría de la teoría de entrar en la etapa resp. pueden ser conocidos por los estudiantes antes de comenzar con la categoría de teoría.

Los comentarios son bienvenidos por qué los siguientes candidatos son buenas o malas.

Otros ejemplos son bienvenidos!

El candidato #1: Axioma de extensionality (para juegos)

Un conjunto está determinada únicamente/puede ser recuperado a partir de sus elementos.

El candidato #2: Dedekind terminaciones (por posets)

La conclusión de un poset S es el conjunto de sus abajo cerrado subconjuntos, ordenados por inclusión. S es el fin-incrustado en esta red mediante el envío de cada elemento x del ideal que genera.

El candidato #3: la Piedra del teorema de representación (para álgebras Booleanas)

Cada álgebra de boole B es isomorfo al álgebra de clopen subconjuntos de Piedra espacio S(B).

Candidato nº 4: del teorema de Cayley (para grupos)

Cada grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico en G.

Answer 1

Siempre he visto como una generalización del hecho de que cada función en un espacio define una distribución. Es decir, $C^\infty(M)\subconjunto \mathcal{D}(M)$ (no sé si eso es normal, yo sé muy poco acerca de las distribuciones a excepción de lo que se cubrió en un primer curso) se generaliza a $\mathcal{C}\subconjunto Func(C^{op},Juegos)$. Y luego se le permite hablar acerca de si un functor solución es representable, como si la solución de la distribución es una función, etc.

Answer 2

La (débil) Nullstellansatz: Si $a$ es un finitely generó $\mathbb{C}$-álgebra, entonces $A$ es el cero del anillo si y sólo si $\mathrm{Hom} (\mathbb{C})$ es vacío.

Más generalmente, si $A$ y $B$ son finitely generó $\mathbb{C}$-álgebras sin nilpotents, a continuación, un mapa de $A \a B$ es determinado por el mapa de $\mathrm{Hom}(B, \mathbb{C}) \a \mathrm{Hom} (\mathbb{C})$ que induce.

Answer 3

Proyecto de ley de Lawvere ha sido conocida a referirse a ella como la de Cayley-Dedekind-Grothendieck-Yoneda Lema, que es pegadiza pero sólo se las arregla para incluir los números 2 y 4. Supongo que puedo ver lo que tienes en mente con el número 1, pero el número 3 (Piedra) que me desconcierta. ¿Qué estás pensando que hay?

Aquí hay otra. Es el Yoneda Lema en el caso de categorías de objeto, es decir, monoids. Vamos $M$ ser un monoid, y escribir $\tilde{M}$ para su izquierda regulares de la representación. A continuación, para toda la izquierda $M$-$X$, hay una natural bijection entre los elementos de $X$ y mapas de $\tilde{M} \X$ de $M$-conjuntos.

No sé cuántas personas se encuentran las poleas antes de categorías, pero he aquí otro ejemplo. Revisión de un espacio topológico de $X$. Para cada conjunto abierto $U$ tenemos una presheaf (de conjuntos) $\tilde{U}$, que toma el valor de $\{*\}$ en abrir los subconjuntos de $U$ y $\emptyset$ en abrir los conjuntos que no son subconjuntos de $U$. Entonces para cualquier presheaf de $F$ en $X$, hay una natural bijection entre los elementos de $F(U)$ y mapas de $\tilde{U} \X$ de presheaves.

Answer 4

Me gusta ver Yoneda del lema como una generalización de la descripción de Galois revestimientos en la topología. Para cualquier functor $F: C \a$ le puede asociar su categoría de elementos $El(F)$. Sus objetos son pares $(x,a)$, $a\in C$, $x\in F(a)$. Una de morfismos $f:(x,a)\a (y,b)$ es un morfismos $f_*: \a b$, tal que $F(f_*)(x) = y$. Esta categoría está equipado con un natural de la proyección de $Q_F : El(F) \a C$, envío de us $(x,a)$ a $a\in C$ y una de morfismos en $El(F)$ a la base de morfismos en $C$. Entonces es fácil ver que una transformación natural $\mu: (p;\cdot) \F(\cdot)$ es de la misma como una de morfismos de fibrations más de $C$ $$\int \mu: El(p;\cdot) \simeq p/C \a El(F)$$

Este es un ejemplo de Grothendieck de la construcción, aplicado al conjunto de valores de functors. Es en sí mismo una categórica la versión de la correspondencia entre las poleas de los conjuntos y sus etale espacios en la geometría algebraica.

Considerar, por ejemplo, $Nat[(p;\cdot);(p;\cdot)]$. Por Yoneda del lexema es igual a $Hom_C(p;p)$. Esta es exactamente la fibra de $p/C$ sobre $C$ bajo el Grothendieck de construcción por $(p;\cdot)$. Toda la automorphism de $(p;\cdot)$ es, pues, determinada por la imagen de $1:p\a p$. Esto recuerda que un automorphism de Galois cubriendo está definida únicamente por la elección de la imagen de un elemento en la fibra, por lo tanto $$Aut(M\stackrel{p} {\,} N) = p^{-1}(x),\;x\in N$$

Una de morfismos de Galois revestimientos $f:X\to $ Y $X$ conectados es, asimismo, se determina únicamente (si es que existe) por la elección de algunos de los elementos de una fibra de $Y$. Si $X$ es contráctiles, a continuación, una de morfismos siempre existe. Esto significa que la rebanada categorías $p/C \C$ son en realidad similares a contráctiles fibrations. Yo no sé hasta qué punto la analogía va, pero a través de la clasificación de espacio functor rebanada categorías realmente mapa para contráctiles de los espacios, debido a que han inicial de los objetos.

Answer 5

para los gráficos

Cada nodo en una contables gráfico se determina hasta conjugacy por una lo suficientemente grande barrio (inducida conectado subgrafo que contiene el nodo apuntado).