¿Cómo pensar en un conjunto?

Question

Llevo dos meses estudiando por mi cuenta el análisis funcional. A medida que me acostumbro a términos como espacio, topología, colector, etc., me doy cuenta de que todo se define en términos de conjunto. Si miro en la página de wikipedia sobre conjunto o teoría de conjuntos podemos obtener bastantes explicaciones, pero no me quedó claro cómo pensar en un "conjunto". Tal vez estoy tratando de pensar en un "conjunto" como un objeto geométrico del que todo se puede derivar. Quizás me estoy preguntando cómo pensaría un físico de un "conjunto". Me preocupa que esta pregunta se cierre con muchos votos en contra, pero he decidido probar suerte. Tal vez pregunte a la comunidad qué piensan del "conjunto". Eso podría ayudarme a desarrollar algún eslabón perdido, que no puedo explicar adecuadamente.

Answer 1

Las malas noticias

No eres el único que no sabe cómo pensar en un conjunto. Elaborar un lenguaje sensato para hablar de conjuntos costó a los matemáticos mucho tiempo. sudor y lágrimas . Hoy en día se considera uno de los mayores logros de las matemáticas del siglo XX, y sigue siendo construido sobre hoy.

Si se dispone a explorar nuestro universo de conjuntos, o los universos que hay más allá de él, encontrará rápidamente conjuntos que son vertiginosamente , aterradoramente , hilarantemente contrario a la intuición. Si quieres mi opinión, la mejor manera de pensar en conjuntos como estos es no .

La buena noticia

Por otro lado, si lo único que quieres hacer es geometría, todos los conjuntos que encuentres serán lo suficientemente mansos como para que puedas aprender a manejarlos con sólo mirar ejemplos. En este sentido, te daré algunos ejemplos de conjuntos que aparecen en geometría. A menudo es útil tener lotes de ejemplos, por lo que esta respuesta será desgraciadamente larga. Lo siento.

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Cualquier colección finita de cosas. En tres mosqueteros son una colección finita de personas, por lo que intuitivamente deberían formar un conjunto, que llamaré $\mathbf{M}$ . En notación formal, podríamos definir este conjunto escribiendo $$\mathbf{M} = \{\text{Athos}, \text{Porthos}, \text{Aramis}\}.$$ Los mosqueteros individuales se llaman elementos de este conjunto. Donde una persona normal diría "Porthos es uno de los tres mosqueteros", un matemático podría decir "Porthos es un elemento de $\mathbf{M}$ o escriba $\text{Porthos} \in \mathbf{M}$ .

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Los números naturales. Los números 1, 2, 3, 4, etc. son un conjunto de cosas, por lo que intuitivamente deberían formar un conjunto, que suele llamarse $\mathbb{N}$ . Los lógicos, que necesitan utilizar un lenguaje muy formal, hablan de este conjunto dando un descripción lógica y precisa de ello. Afortunadamente, como geómetra, puedes salirte con la tuya con una descripción informal como ésta: $$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}.$$ Los puntos son otra forma de decir "y así sucesivamente", con la esperanza de que el lector sepa a qué se refiere.

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Los números naturales cuyos cuadrados son menores que 100. Estos números son una colección de cosas, por lo que forman un conjunto, que llamaré $\mathbf{S}$ . Podemos producir este conjunto hurgando en el conjunto $\mathbb{N}$ y cogiendo todos los elementos cuyos cuadrados sean menores que 100. Esta forma de construir conjuntos es tan útil que la gente inventó una forma especial de escribirla: $$\mathbf{S} = \{n \in \mathbb{N} \mid n^2 < 100\}.$$ Esto podría leerse en voz alta como: " $\mathbf{S}$ es el conjunto de los números naturales $n$ con la propiedad de que $n^2 < 100$ ."

Porque cada elemento de $\mathbf{S}$ también es un elemento de $\mathbb{N}$ decimos $\mathbf{S}$ es un subconjunto de $\mathbb{N}$ . Por escrito, $\mathbf{S} \subset \mathbb{N}$ .

Si se piensa un poco, se puede encontrar una expresión más concreta para el conjunto $\mathbf{S}$ : $$\mathbf{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$$

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El plano euclidiano. Imagine una hoja de papel infinita, perfectamente plana y sin marcas. Aunque al principio parezca una forma rara de pensar, puedes considerar esta hoja de papel como una colección infinita de lugares, llamados puntos . Esto permite hablar de la hoja de papel como un conjunto, que llamaré $\mathbf{E}$ .

Una de las cosas más interesantes que puedes hacer en el plató $\mathbf{E}$ es medir distancias. Dados dos elementos cualesquiera $p$ y $q$ de $\mathbf{E}$ escribiré la distancia entre ellos como $d(p, q)$ .

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Un círculo en el plano. Un círculo puede describirse como un conjunto de puntos del plano que están todos a la misma distancia de un punto determinado $a$ . El punto $a$ se denomina centro del círculo, y la distancia común se denomina radio . El círculo con centro $a \in \mathbf{E}$ y radio $1$ que llamaré $C_1(a)$ puede describirse formalmente escribiendo $$C_1(a) = \{p \in \mathbf{E} \mid d(p, a) = 1\}.$$ Cada círculo es un subconjunto de $\mathbf{E}$ .

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Una línea en el plano. Elijamos dos puntos diferentes del plano, es decir, elijamos $a, b \in \mathbf{E}$ con $a \neq b$ . Digamos que $V(a, b)$ es el conjunto de puntos que están a igual distancia de $a$ y $b$ . Es decir, $$V(a, b) = \{p \in \mathbf{E} \mid d(p, a) = d(p, b)\}.$$ Si lo piensas, deberías poder convencerte de que $L$ ¡es una línea recta!

Obsérvese que hay muchas opciones diferentes de puntos $a$ y $b$ dar la misma línea $V(a, b)$ .

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Un conjunto de círculos en el plano. Los conjuntos son cosas, así que una colección de conjuntos debería formar un conjunto. Los lógicos tienen que tener mucho cuidado a la hora de construir conjuntos de conjuntos, pero como geómetra no deberías encontrarte con ningún problema. problemas .

He aquí una descripción del conjunto de todos los círculos de radio uno: $$\{C_1(a) \mid a \in \mathbf{E}\}.$$ Si desgranamos el significado de $C_a(1)$ nuestra descripción de este conjunto de círculos se amplía a $$\{\{p \in \mathbf{E} \mid d(p, a) = 1\} \mid a \in \mathbf{E}\}.$$ Esta descripción ampliada deja claro que se trata de un conjunto de conjuntos.

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Otro conjunto de círculos en el plano. Aquí se describe el conjunto de todos los círculos cuyos radios son números naturales: $$\{C_n(a) \mid a \in \mathbf{E}, n \in \mathbb{N}\}.$$

Toda circunferencia de radio uno es una circunferencia cuyo radio es un número natural, por lo que $$\{C_1(a) \mid a \in \mathbf{E}\} \subset \{C_n(a) \mid a \in \mathbf{E}, n \in \mathbb{N}\}.$$

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El conjunto de todas las líneas del plano. Digamos que $\mathcal{L}_{\mathbf{E}}$ es el conjunto de todas las líneas del plano. Este conjunto puede describirse escribiendo $$\mathcal{L}_{\mathbf{E}} = \{V(a, b) \mid a, b \in \mathbf{E}\}.$$ Si realmente pasamos por todos los pares de puntos $a, b \in \mathbf{E}$ y trazó la línea $V(a, b)$ para cada par, trazaríamos cada línea muchas veces. No pasa nada: cuando se describe un conjunto utilizando esta notación, no pasa nada si se describen algunos elementos más de una vez.

El conjunto $\mathcal{L}_{\mathbf{E}}$ es útil porque te dice mucho sobre la geometría del plano. De hecho, incluso si olvidas cómo medir distancias, puedes hacer mucha geometría simplemente jugando con los conjuntos $\mathbf{E}$ y $\mathcal{L}_{\mathbf{E}}$ . Por ejemplo, he aquí una expresión para el conjunto de rectas que pasan por un par de puntos $a$ y $b$ : $$\{L \in \mathcal{L}_{\mathbf{E}} \mid a \in L \text{ and } b \in L\}.$$ Es un hecho muy importante sobre la geometría que cuando $a \neq b$ este conjunto siempre tiene exactamente un elemento.

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El plano de Fano. Una vez que los matemáticos se acostumbraron a hacer geometría pensando en el plano como un conjunto de puntos y luego pensando en las líneas como un conjunto de subconjuntos del plano, se dieron cuenta de que podrían ser capaces de crear nuevos tipos de geometría empezando con un conjunto distinto de $\mathbf{E}$ .

Un buen ejemplo es el Plano de Fano un conjunto de siete "puntos" organizados en "líneas" de tres puntos cada una. La relación entre el conjunto de puntos $\mathbf{F}$ y el conjunto de líneas $\mathcal{L}_{\mathbf{F}}$ es muy similar a la relación entre $\mathbf{E}$ y $\mathcal{L}_{\mathbf{E}}$ . Por ejemplo, si elige dos puntos $a, b \in \mathbf{F}$ con $a \neq b$ encontrará que el conjunto $$\{L \in \mathcal{L}_{\mathbf{F}} \mid a \in L \text{ and } b \in L\}$$ siempre tiene exactamente un elemento. En el plano de Fano, al igual que en el plano euclidiano, hay exactamente una línea recta que pasa por cada dos puntos diferentes.

Answer 2

Desafortunadamente, el "conjunto" es un concepto tan impreciso como conjuntos de sí mismos. No es un objeto geométrico, y, ciertamente, no es un objeto físico. Se trata de un concepto abstracto que surgió a partir del deseo de especificar qué tipo de colecciones puede ser descrito. Claramente la especificación sería esencialmente la especificación de algún tipo de propiedad que los elementos de una colección debe satisfacer y que todo lo demás no satisface. Al mismo tiempo, ciertos matemáticos quería que los elementos de un conjunto en sí se establece por las razones que fueren, que no están claramente relacionados con el mundo físico. Y tan ingenuo que la teoría de conjuntos fue construido, donde se le permite crear cualquier conjunto (de conjuntos) que satisfacen una propiedad. Por desgracia, esto es sólo una identificación de conjuntos de funciones de conjuntos booleanos (verdadero o falso), y que nada de este tipo está condenado a una contradicción en cualquier sistema formal. Por lo tanto, Zermelo y Fraenkel vino para arriba con un conjunto de axiomas donde el tipo de set que les permite construir está severamente restringida, pero hay otros axiomas. De esta manera, la ingenua idea de tener conjuntos identificados con sus funciones de los indicadores se conserva, pero al costo de algunas de las colecciones de adecuación de clases en lugar de conjuntos. Existen otras alternativas, tales como diversos tipo de teorías, algunas de las cuales reflejan más de cerca la actual forma de hacer matemáticas que ZFC. Pero eso es otro tema.

Y si el estudio de la lógica de primer orden, se dará cuenta de que ZFC es un primer orden de teoría donde el dominio es la intención de que constan sólo de conjuntos, sino que es cuando se ve desde el exterior! Dentro de la teoría no se puede definir el dominio en todo, y todo lo que "sabemos" son los axiomas de ZFC. Del mismo modo, el básico 2-entrada predicado "$\in$" no puede ser definida dentro de ZFC, porque no se puede expresar "$t \in u$" si no está permitido el uso de cualquier de los predicados a todos!!!! Por lo tanto, si usted hacer matemáticas completamente dentro de ZFC parte de ambos conjuntos y "$\in$" va a ser indefinible. Entonces, ¿cómo podemos hablar de ZFC sí mismo? Tendríamos que ir fuera de ella. Si te das cuenta, a la hora de estudiar la lógica misma estamos usando algún tipo de matemáticas del estado y demostrar teoremas acerca de la lógica y de las matemáticas es generalmente de ZFC!

Este fenómeno es intrínseca a todos los idiomas, incluyendo lenguajes formales como ZFC y de los lenguajes naturales, como el inglés, donde algunos de los conceptos no están definidos en el lenguaje. Por ejemplo, uno no puede entender el significado de "si" sin la comprensión de algo equivalente. Este es, de hecho, relativa a por qué necesitamos al menos una regla de inferencia en lógica, generalmente de modus ponens, porque sin reglas, no podemos hacer nada. Pero las reglas no pueden ser definidos! Por otra parte, el uso de modus ponens que ya necesitan entender "si", porque la regla dice:"Si usted tiene fórmulas derivadas $α,α \rightarrow β$, entonces se puede derivar $β$.".

Answer 3

La respuesta fácil, que probablemente no os sirva a los que hacéis cursos bastante avanzados, es que un conjunto es una colección de objetos. Sin embargo, lo interesante de los conjuntos es realmente la fuerza que esto implica si hacemos interpretaciones de diferentes conjuntos.

Los conjuntos no pueden contener el mismo elemento dos veces, pero podemos identificar $\{1,\{1\}\}$ con la 2-tupla ordenada (1,1).

Las funciones pueden simularse mediante conjuntos creando el gráfico, por ejemplo $\{\{x,\{x+1\}\} : x \in Z\}$ podría identificarse con la función $f(x)=x+1$ .

En el mismo sentido, podemos definir casi todas las matemáticas utilizando un concepto tan humilde y sencillo. Así que, para responder a tu pregunta, pienso en los conjuntos como pequeños bloques de construcción muy sencillos a partir de los cuales construimos las matemáticas, y todo empieza con una simple colección de cosas.

Answer 4

Un conjunto puede considerarse como un regla de inclusión o " Todos los objetos que cumplen una regla de inclusión determinada. "

"Todos los números impar". Si eres un número impar, estás en el conjunto. Si no lo eres, no estás en el conjunto. O, "Todos los estados de EE.UU. cuyos nombres empiezan por 'A'".

El conjunto puede estar vacío: "Todos los Impares múltiplos de 2". El conjunto vacío es realmente importante, pero lo aprenderás sobre la marcha. Igual que el cero es un número extremadamente importante y útil, pero no te lo enseñan al principio.

Incluso puedes tener un conjunto definido así: "Los números 1, 2 y 5". Todo lo que no sea uno de esos números no está en ese conjunto.

Answer 5

Permítanme comenzar diciendo que esto es lo que pienso de los conjuntos. Espero que sea útil.

Mi intuición de lo que es un conjunto, por vaga que sea, es que es una cosa con cosas dentro (o en el caso especial de un conjunto vacío, sin cosas) (más exactamente, una teoría de conjuntos es una teoría que tiene una relación épsilon). Sin embargo, eso no es suficiente para trabajar, así que uno ingenuamente empieza a preguntarse si tenemos varias formas de construir conjuntos que reflejen nuestras actividades. Así, uno puede querer ser capaz de tomar la unión de dos conjuntos o, lo que es más importante, especificar un conjunto cuyos elementos son todas las cosas que satisfacen alguna propiedad. Más concretamente, uno puede querer formar el conjunto, $$evenInt=\{x:x\mbox{ is an integer, and } x \mbox{ is even}\},$$ u otras cosas por el estilo.

Así que uno plantea un universo (no importa de dónde procedan él o sus habitantes), y podemos formar todos los conjuntos que satisfagan alguna propiedad, o incluso quizás formar "subconjuntos aleatorios". Sin embargo, no todo está bien en este paraíso, ya que utilizando esta formulación, uno puede formar el conjunto, $$Russ = \{S: S\mbox{ is a set, and }S\notin S \}.$$ Esto parece una cosa perfectamente buena, hasta que se hace la pregunta: "¿Es que $Russ$ contenerse a sí mismo como elemento"? Pues bien, si lo contiene, entonces no lo contiene, y si no lo contiene, entonces sí lo contiene. Esto se llama la paradoja de Russell. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Russell s_paradox .

Entonces la gente se preguntaba: "¿Cómo lo arreglamos? Una respuesta a la que se llegó son los axiomas ZFC. Estos axiomas parecen ser coherentes. Además, parecen capturar los tipos de construcciones que la gente quiere hacer en los conjuntos, sin entrar en conflicto con la paradoja de Russell y otras paradojas.

Esta teoría también tiene el efecto de que grandes partes de las matemáticas son formalizables en esta teoría, que es otro objetivo de la teoría de conjuntos. Un problema o característica de ZFC es que trata todo como el mismo tipo de cosa, es decir, un conjunto cuyos elementos son conjuntos, hasta el conjunto vacío (se podría argumentar que ciertas teorías de tipos son teorías de conjuntos que no tienen esta propiedad). Véase https://golem.ph.utexas.edu/category/2013/01/from_set_theory_to_type_theory.html más información al respecto.