Encontrar $\det X$ $8GX=XX^T$

Question

Necesito encontrar $\det X$ donde $$8GX=XX^T,\quad G=\left(\begin{matrix}5 & 4\3 & 2\\end{matrix}\right).$ $

Mi respuesta es que es el determinante de la $X$ $-128$ y que es correcto pero hay un valor más de $\det X$ que puede resolver la ecuación.

Answer 1

Esta cuestión había sido muy votada abajo y fue una vez cerrado, pero, francamente, creo que eso no es una pregunta fácil, y no entiendo las razones detrás de los downvotes.

Deje $A=8G=\pmatrix{40&32\\ 24&16}$. Si $AX=XX^T$,$\det(A)\det(X)=\det(X)^2$. Así, los únicos valores posibles para $\det(X)$$0$$\det(A)=-128$. Claramente, la ecuación de $AX=XX^T$ $\det(X)=0$ es solucionable --- $X=0$ es una solución trivial, en primer lugar, y es fácil demostrar que todas singular soluciones están dadas por $X=0$ o $X=\lambda uu^T$ donde $(\lambda,u)$ es un eigenpair de $A$$\|u\|=1$.

La verdadera pregunta, sin embargo, es si el determinante $-128$ es alcanzable, es decir, si existe una nonsingular matriz $X$ tal que $AX=XX^T$. Esto es equivalente a $A=XX^TX^{-1}$, y al parecer es un muy fuerte exigencia --- no sólo se debe a $A$ ser similar a $X^T$, el cambio de base de la matriz debe ser también igual a $X$. Tal vez me estoy perdiendo algo aquí, pero sinceramente no veo ninguna respuesta obvia a este problema.

Edit: Para los que estén interesados, si la ponemos a $Y=AX$,$AYA^T=AXX^TA^T=YY^T$. Por lo tanto, si $X$ es nonsingular, a continuación, $Y$ es simétrica positiva definida y $\det(Y)=128^2=d$ (por ejemplo). Así, si dejamos $t=\operatorname{trace}(Y)$ y escribir $Y=\pmatrix{x&y\\ y&z}$, luego por Cayley-Hamilton teorema, obtenemos $AYA^T=YY^T=Y^2=tY-dI$ e esta ecuación puede escribirse como $$ \pmatrix{x\\ y\\ z}= -256\left[\pmatrix{ 25&40&16\\ 15&22& 8\\ 9&12& 4} -sI\right)^{-1} \pmatrix{1\\ 0\\ 1},\la etiqueta{1} $$ donde $s=t/64$. Desde $t=64s=x+z$, si tomamos a la izquierda-multiplicar $(1)$ $(1,0,1)$ en ambos lados, vamos, finalmente, obtener $p(s)=(s-2)(s^3 - 49s^2 - 208s - 216)=0$. Resulta que $p$ tiene dos raíces reales. La raíz de $s=2$ no da lugar a un válido $X$, pero la otra raíz, $s\approx53.00132225047258$ da la solución $$ X=\pmatrix{ 43.30336531969982 &26.18058434772915\\ 25.88968225037343 &12.69663468030015 }. $$