Aplicación del teorema de Bolzano a los polinomios

Question

Estoy tratando de resolver lo siguiente:

Permita que$f$ sea un polinomio de grado$n$, digamos$f(x)=\sum\limits_{k=0}^nc_kx^k$, de modo que el primer y último coeficientes$c_0$ y$c_n$ tengan signos opuestos. Demuestre que$f(x)=0$ para al menos un positivo$x$.

Puedo usar el teorema de Bolzano para$x=0$ y algún otro valor de$x$, pero no estoy seguro de cuál.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \ lim_ {x \ a + \ infty} f (x) = \ operatorname {sgn} (c_n) \ infty = - \ operatorname {sgn} (f (0)) \ infty $$ donde $ \ operatorname { sgn} (c)$ is the sign of $ c$, i.e. $ \ operatorname {sgn} (c) = \ dfrac {| c |} {c}$, for $ c \ neq0. ps
Esto significa que podemos encontrar un "gran"$x$ tal que el signo de$f(x)$ es el opuesto al signo de$f(0)$. Te dejo los detalles.

Answer 2

¿Una sugerencia: $x>0$ puede escribir $$f(x)=x^n \left(cn+{c{n-1}\over x}+{c_{n-2}\over x^2}+\ldots+{c_0\over x^n}\right)\ .$ $ lo que sobre el signo de $f(M)$ cuando $M\gg1\ $?