La secuencia más larga de números con una cierta propiedad de la divisibilidad

Question

EDITAR - resultado. westzynthius(1931) mostraron que se puede crear una $p_x$ habitante más de $p_x \times log(log(log(p_x)))$... Significado de lo suficientemente grande como los números primos, la máxima habitante es mucho mayor que $2p_x, 3p_x$ etc.

Definición - Habitante

Una secuencia $\lbrace a_k \rbrace$ es un habitante si todos sus miembros son números primos, yo.e $a_0, a_1, ... a_n \in \mathbb{P} $; y que satisface la siguiente condición; si "$a_{x_1} =y_1 $", "$a_{x_2} =y_2$", "$x_1 \pm m_1y_1 \neq x_2 \pm m_2 y_2 $ al $y_2<y_1 $" y "$m_3$ no es divisible por $y_1$"; luego, "$a_{x_1 \pm m_1y_1}=y_1$" e $"a_{x_1 \pm m_3} \neq y_1$ " ($m \in\mathbb{N}$ donde $y \in\mathbb{P}$ e donde:$x \in\mathbb{Z}$).

Vamos a un habitante que consta de los números primos hasta e incluyendo la $p_\alpha$ denotarse $\lbrace a_k \rbrace ^{p_\alpha} $. Por ejemplo; un moradores que puede ser denotado como $\lbrace a_k \rbrace^7 $ es {2,7,2,3,2,5,2}.

Pregunta

¿Cuál es la longitud máxima $\lbrace a_k \rbrace ^{p_\alpha} $ puede tomar?

Intento

Con el fin de encontrar la longitud máxima de un habitante $\lbrace a_k \rbrace ^{p_\alpha} $ puede tomar he considerado que los habitantes de dos tipos diferentes.

Primero me considera un habitante $\lbrace a_k \rbrace ^{p_\alpha} $ de un tipo que corresponde a la secuencia de los números naturales $ \lbrace 2,3,4,...,p_{\alpha +1} -1 \rbrace $. La correspondiente habitante es $\lbrace 2,3,2,...,2 \rbrace $. Este tipo de habitante se había creado tal que $a_i=d_i|i$ donde $d_i$ es algún divisor de $i$, implica $a_i \in $$\lbrace a_k \rbrace$. La consecuencia de esta propiedad es que este tipo de habitante puede ser considerado como una secuencia de los más bajos el primer divisores de los números naturales a partir de $2$ $p_{\alpha +1} -1$respectivamente. Por ejemplo, de este tipo; $\lbrace a_k \rbrace ^{11} = \lbrace 2,3,2,5,2,7,2,3,2,11,2 \rbrace $ y corresponde a $\lbrace 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \rbrace$.

Un habitante $\lbrace a_k \rbrace ^{p_\alpha} $ de este tipo que tiene una longitud de $ p_{\alpha +1} -2 $.

Sin embargo me encontré con un tipo mayor de habitante correspondiente a la secuencia de enteros $\lbrace -(p_{\alpha -1} -1), ..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, ..., p_{\alpha -1} -1 \rbrace $. La correspondiente habitante es $\lbrace 2, ..., 2,3,2,p_\alpha,2,p_{\alpha -1},2,3,2, ..., 2 \rbrace $. Este tipo de habitante también puede ser considerado como una secuencia de los más bajos de los factores primos del número entero de la secuencia anterior, sin embargo también se requiere el reemplazo de $-1$ $1$ con los dos primos $p_{\alpha}$$p_{\alpha -1}$, respectivamente, y se incluye la sustitución de $0$$2$. Por ejemplo, de este tipo de $\lbrace a_k \rbrace ^{11} = \lbrace 2,5,2,3,2,7,2,11,2,3,2,5,2 \rbrace $ y corresponde a $\lbrace -6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \rbrace$.

Este tipo de habitante tiene una longitud de $ 2p_{\alpha -1} -1 $, y también tiene una aparente simetría como se define a continuación. este tipo de habitante tiene una longitud mayor o igual a la longitud del tipo anterior, debido a la identidad de $2p_{x-2} \geq p_{x}-1$ demostrado aquí.

Así que mi siguiente pregunta es; es el segundo tipo de habitante de la mayor lengthed $\lbrace a_k \rbrace ^{p_\alpha} $ morador posible? ¿Cómo puede usted probar que era?

He tratado de probar esta, utilizando el concepto de simetría. He definido la simétrica de la profundidad como el mayor de los números primos $p_N$ tal que $a_{x+ p_N}=a_{x- p_N} = p_N$ $a_{x+ p_{i}}=a_{x- p_{i}} =p_i$ para todos los números primos $p_i$ menos de $p_N$, centrada en algunos de los $a_x\in \lbrace a_k \rbrace$. Dejo $\lbrace a_k \rbrace ^{p_\alpha} _ {p_N} $ ser un habitante que consiste en números primos hasta e incluyendo la $p_\alpha$ simétrica con la profundidad de $p_N$, y la esperanza de demostrar que la longitud de un habitante $\lbrace a_k \rbrace ^{p_\alpha} _ {p_N} $ es siempre mayor o igual a la longitud de un habitante $\lbrace a_k \rbrace ^{p_\alpha} _ {p_{N-1}} $. Sin embargo he encontrado un ejemplo contrario a esto, debido al hecho de que las diferencias entre los números primos grandes tienden a ser mayores que las brechas entre los más pequeños números primos.

Sin embargo, todavía tengo que producir un habitante $\lbrace a_k \rbrace ^{p_\alpha} $ mayor en longitud que $\lbrace a_k \rbrace ^{p_\alpha} _ {p_{\alpha -2}} $.

Por lo que cualquier ideas a más de esto?

Más Preguntas

Definición de anchura Aparente

En un habitante $\lbrace a_k \rbrace$, si $p_A$ es el mayor número primo tal que $a_{i+ mp_A}$ $a_{i- mp_A}$ número primo mayor que o igual a $p_A$ entonces $a_i$ tiene un ancho aparente de $p_A$. Por otra parte; si el ancho aparente de $a_i$ es mayor que todos los demás aparente anchos de los miembros de la en $\lbrace a_k \rbrace$ entonces el ancho aparente de $\lbrace a_k \rbrace$$p_A$.

Puede no ser un habitante $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x}$ que tiene un ancho aparente estrictamente menor que algunos $p_\beta$, pero que tiene una longitud que es mayor que otro habitante $\lbrace a_k \rbrace^{p_x}$, de anchura aparente de $p_\beta$?

Además, están todos los habitante $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x}$ con un ancho aparente de $p_\beta$ menos que o igual a la longitud hasta el más pequeño habitante $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x}_{p_\beta}$?

Answer 1

Su definición de habitante es muy barroco, de manera confusa para describir una forma extremadamente simple concepto: sólo estás pidiendo el intervalo más largo que pueden ser cubiertos con las progresiones aritméticas, uno para cada primer hasta el $p$. Cuando el mismo número está cubierto por varias progresiones, que se esforzó mucho para forzar el morador grabar sólo los menos módulo. Pero esa distinción es completamente irrelevante para el problema de la optimización de la longitud del intervalo.

Este problema se ha trabajado desde la década de 1930 por Westzynthius, y se hizo famoso por Erdős y más tarde Rankin. Ver este MO pregunta que se plantea, básicamente, la misma pregunta, pero le da una excelente exposición de los métodos.

Rankin se utiliza este método para mostrar que la brecha más grande entre los números primos hasta el $x$ al menos $$\Omega\bigg(\frac{\log x \log \log x \log \log \log \log x}{(\log\log\log x)^2}\bigg).$$

Esta se sitúa por décadas como el más fuerte de la tasa de crecimiento primos grandes lagunas, hasta el año pasado cuando varios de los más destacados investigadores en el campo de agudizar las $\Omega$$\omega$. Así que es una muy bien estudiada problema.

OEIS tiene una entrada para la máxima habitante de la longitud de tipo $\{a_k\}^{p_a}$ por varios pequeños valores de $a$: http://oeis.org/A058989. Esto responde a tu pregunta sobre el "segundo tipo de habitante" siendo el más largo posible: se convierte en falsa partir de $p_a = 23$, que tiene un habitante de la longitud de la $39 > 2\cdot19-1$.

Answer 2

Esta no es la respuesta completa, pero esta respuesta es ilustrativo de una manera podríamos intentar intento de responder a la primera pregunta publicado.

Considere la posibilidad de $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{x-2}}$.

$\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{x-2}}$ es posible de dos formas: $\lbrace 2, ..., 2,3,2,p_x,2,p_{x-1},2,3,2,...,2 \rbrace$ o $\lbrace 2, ..., 2,3,2,p_{x-1},2,p_{x},2,3,2,...,2 \rbrace$. Si hemos de intercambio de otros miembros con la excepción de$p_{x-1}$$p_x$, el resultado del habitante tendrá un simétrica profundidad de menos de $p_{x-2}$. Por lo tanto, el más largo habitante de la forma $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{x-2}}$ tiene una longitud de $2p_{x-1}$ a causa de sus formas de hacer.

Supongamos que existe un habitante $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x}$ más de $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{x-2}}$. Se debe tener un simétrica profundidad estrictamente menor que $p_{x-2}$. En segundo lugar, todos los habitantes de más de $11$ tiene un simétrico profundidad de, al menos,$3$. Esto es debido a que uno de los cuatro primeros términos de la secuencia debe ser $3$, y también el término de seis lugares a la derecha de este también debe ser $3$.

Así que vamos a la longitud de $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{x-2}} \geq 11$. Por lo tanto, el más largo habitante debe tener la forma $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{y}}$ donde $3 \leq p_y < p_{x-2}$.

La longitud de $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{x-2}}$ es igual a la longitud de $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}} + 2\times (p_{x-1}-p_{y+1})$. Esto es debido a que $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$ tiene una longitud de $2p_{y+1}$. Así que la declaración es equivalente a decir que el $2p_{x-1} = 2p_{y+1} +2\times (p_{x-1} -p_{y+1})=2p_{y+1} +2p_{x-1} -2p_{y+1}=2p_{x-1}$. Del mismo modo la longitud de $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{y}} $ es igual a la longitud de $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$, ya que este es el de la simetría, además de algunos $R$, que es desconocido.

Por lo tanto, si $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{y}} > \lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{x-2}}$$R > 2\times (p_{x-1}-p_{y+1})$.

A intepret el plazo $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}} +2\times (p_{x-1}-p_{y+1})$ podemos observar que a lo $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$ es una secuencia en la que si tenemos un número primo impar mayor que $p_{y}$, se puede colocar en uno de los dos extremos de la secuencia $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$ y, en consecuencia, también podemos colocar $2$ como miembro antes o después, porque el más largo habitante se trivialmente empezar con un $2$ y terminar con un $2$. Por lo que podemos intepret $2\times (p_{x-1}-p_{y+1})$ diciendo; 'Agregar $p_{x-1}-p_{y+1}$ impares, números primos en $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$, y, en consecuencia, agregar $p_{x-1}-p_{y+1}$ $2$'s. '

A partir de esta observación, sabemos que $R$ debe ser, también, incluso, lo $R=2R'$, y esto implica que podemos agregar a $R'$ impares, números primos en $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$ donde $R'> p_{x-1}-p_{y+1}$.

Para considerar la adición de $R'$ impares primos de a $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$. Cada impar primer número debe ser menor o igual a $p_x$, porque somos la determinación de la longitud máxima de una $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x}$ morador. Esto nos da $x-1$ impares primos que podemos utilizar para extender $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$, a pesar de $y$ de los impares, números primos han tenido sus posiciones predeterminadas por el simétrica habitante $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$, por lo tanto, tenemos $x-1-y$ impares primos que podemos libremente posición, con el fin de maximizar la duración de la $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{y}}$.

El siguiente punto es la posición que el $R'$ impares primos tomar en el respeto a $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$. Considere la situación en la que todos los $R'$ impares, números primos adjuntar al mismo lado de la $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$. Podemos ser capaces de quitarse una extraña primer número de este lado y adjuntarlo al otro lado de la $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$. Podemos continuar haciendo esto hasta que todos los impares primos están conectados al otro lado. Sin embargo, cuando más de la mitad de los impares, números primos se han adjuntado al otro lado de la $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$, tenga en cuenta que la estructura de este habitante ya ha ya tenido en cuenta para cuando más de la mitad de los impares, números primos no se había movido. Se desconoce si $R'$ es par o impar, así que vamos a $R'=2R''$, más un si $R'$ es impar. Por lo tanto, no se $R''$ posibilidades para la colocación de la $R'$ espacios en el respeto a $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$.

Ahora sabemos que tenemos menos de o igual a $R' \times R'' \times (x-1-y)$ arreglos de los impares, números primos mayores que $p_y$ a tratar, con el fin de maximizar la duración de la $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{y}}$. Nota hemos dicho menos, porque hay al menos un poco más de complejidad a incorporar en la situación. De la $R'$ espacios que se quiere llenar con uno de los $(x-y-1)$ números primos, algunos de estos espacios ya han sido predeterminadas para ser un número primo menor o igual a $p_y$ a través de la simetría habitante $\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$. La siguiente pregunta es, de la $R'$ espacios, cómo muchos espacios libres que existen para que los libre de los números primos?

No tengo tiempo para pensar en la siguiente parte de este intento, pero continuar en esta línea de pensamiento, podemos ser capaces de alcanzar el número de posibilidades para la estructura de $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{y}}$. Podemos reducir esto mediante la eliminación de estructuras imposibles, tales como las que producen una mayor simetría. Si podemos demostrar que una de las restantes posibilidades implica $R' >p_{x-1} -p_{y+1}$, entonces sabemos que $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{x-2}}$ no es el más grande de $\lbrace a_k \rbrace ^{p_x}$ morador. Si muestran que $R' \leq p_{x-1} -p_{y+1}$ para todas las posibilidades, a continuación, por el agotamiento de llegar a una contradicción. (Recuerde $R=2R'=\lbrace a_k \rbrace ^{p_x} _{p_{y}} -\lbrace a_k \rbrace ^{p_{y+2}} _{p_{y}}$).