Primero de todo, estamos tratando con unitaria de las representaciones, de modo que el $T^a$s siempre son auto-adjuntos y a las representaciones que tienen la forma
$$U(v) = e^{i \sum_{a=1}^Nv^a T_a}$$
con $v \in \mathbb R^N$. Cuando usted dice que $U$ es real usted acaba de decir que se hizo la representación de la muy real, unitario, $n\times n$ matrices $U$. De esta manera, la condición de $(T_a)^* = -T_a$ es equivalente a la realidad (en el buen sentido) requisito.
Vayamos a su par de preguntas.
(1). Justo en su punto:
La PROPOSICIÓN. Un unitario, finito dimensionales representación es complejo (es decir, no es ni real ni pseudoreal) si y sólo si al menos uno mismo-adjoint generador de $T_a$ tiene un autovalor $\lambda$ tal que $-\lambda$ no es un valor propio.
PRUEBA
Supongamos que $$(T_a)^* = -V T_a V^{-1}\tag{1}$$ for some unitary matrix $V$ and every $=1,2,3,\ldots, N$. Since we also know that $T_a$ is self-adjoint, there is an orthogonal basis of eigenvectors $u_j^{()}\neq 0$, $j=1,\ldots, n$ and the eigenvalues $\lambda_j^{()}$ son reales. Por lo tanto:
$$T_au_j^{(a)}= \lambda_j^{(a)} u_j^{(a)}\:.$$
La toma del complejo de la conjugación y uso (1)
$$VT_aV^{-1}u_j^{(a)*}= -\lambda_j^{(a)} u_j^{(a)*}$$
de modo que $V^{-1}u_j^{(a)*}\neq 0$ es un autovector de a $T_a$ con autovalor $-\lambda_j$. Llegamos a la conclusión de que $\lambda$ es un autovalor si y sólo si $-\lambda$ es (en consecuencia, si la dimensión del espacio es impar, $0$ debe ser necesariamente un autovalor).
Soppose,viceversa, que para el uno mismo-adjoint matriz $T^a$ (real) autovalores satisfacer la restricción de que $\lambda$ es un autovalor si y sólo si $-\lambda$ es. Como $T^a$ es auto adjunto, existe una matriz unitaria tal que:
$$T_a = U diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2}) U^{-1}$$
al $n$ es incluso, de lo contrario no es una fuga último elemento de la diagonal.
Así
$$T^*_a = U^* diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2}) U^{-1*}$$
Observe que $U^*$ es unitaria si $U$ es tal.
Deje que nos indican por $e_1,e_2, \ldots, e_n$ la base ortonormales de vectores propios de a $T^a$ donde la matriz se lleva por encima de la diagonal de la forma.
Si $W$ el (verdadero) unitaria de la matriz que se intercambia $e_1$ con $e_2$, $e_3$ con $e_4$, y así sucesivamente (dejando $e_n$ fijo si $n$ es impar), tenemos que
$$W diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2}) W^{-1} = - diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2})$$ y por lo tanto
$$T^*_a = U^*W^{-1}(- UT_aU^{-1}) WU^{-1*} = -S T_a S^{-1}$$
con $S= U^*W^{-1}U$, que es unitaria porque la composición de matrices unitarias.
Podemos concluir que, como usted dice, una forma de mostrar que una representación es complejo (es decir, no es real) es mostrar que al menos un generador de matriz $T_a$ (sin fuga) autovalores que no vienen en más-menos pares.
QED
(2). En vista de (1), si la lista de valores que se presenta es correcta, la que se considera la representación es obviamente compleja.
