U sustitución en disfraz (notación)---¿Qué es $d(2x+1)$?

Question

Me gustaría saber si hay un nombre para esta notación aquí, que he visto muchas veces.

$$\int \frac{1}{2x+1} \ dx= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2x+1} \ d(2x+1)=\frac{1}{2} \ln|2x+1|+c$$

Gracias

Answer 1

Estos son dos ejemplos más de esta notación:

$$I_1 = \int \cos x \,\mathbb{d}x = \int \mathbb{d}(\sin x) = \sin x + c$$

$$I_2 = \int xe^{-x^2} \,\mathbb{d}x = -\frac{1}{2}\int \mathbb{d}(e^{-x^2}) = -\frac{e^{-x^2}}{2}+k$$

Esencialmente está diciendo:

$$\frac{d(\sin x + c)}{dx} = \cos x$$ $$\frac{d\left(-\frac{e^{-x^2}}{2}+k\right)}{dx} = xe^{-x^2}$$

Por lo que es un "u-sustitución" o "t-sustitución" si sustituye $u = \sin x + c$ o $t = -\frac{e^{-x^2}}{2}+k$ y diferenciar. Aquí sólo utiliza la expresión directamente porque representa lo mismo. Es una poco abusiva notación del diferencial como lo veo.