Formas simplécticas

Question

Permita que$(M, \omega)$ sea una variedad simpléctica, de modo que$\omega$ sea una forma 2 no degenerada. Si$\dim M = 2n$ ¿por qué$\omega$ no está degenerado implica que$\underbrace{\omega \wedge \ldots \wedge \omega}_{n \text{ times}}$ no se está desvaneciendo?

Answer 1

Permita que$x$ sea un punto en$\rm M$. Entonces, como$\omega$ no está degenerado en$x$, la matriz antisimétrica$\omega_x$ tiene rango completo en el espacio de la tangente en$x$. Ahora$\omega \, \wedge\, ... \wedge \, \omega$ at$x$ es solo$\det \omega_x$ que no es cero porque$\omega_x$ tiene rango completo.