Tengo esta pregunta que estoy intentando desde hace un mes pero no me ha funcionado. Para $$a \in R, a\ne-1$$ $$\lim_{n\to\infty} \frac{1^a+2^a+3^a+\cdot\cdot\cdot+n^a}{\mathrm{(n+1)}^{a-1}[(na+1)+(na+2)+(na+3)+\cdot\cdot\cdot+(na+n)]}=\frac{1}{60}.$$ Entonces a=? Intenté la fórmula de la serie para el denominador pero no pude hacerlo con el numerador.No sé cómo simplificar el numerador. $$\lim_{n\to\infty} \frac{1^a+2^a+3^a+\cdot\cdot\cdot+n^a}{\mathrm{(n+1)}^{a-1}[(na+1)+(na+2)+(na+3)+\cdot\cdot\cdot+(na+n)]}$$$$ =lim_{n}a{infty} \frac{{suma_1}^n x^a}{mathrm{(n+1)}^{a-1}[ n^2a+n{suma_1}^nx]} $$$$=\frac{1}{60}.$$ ¿Cómo puedo simplificar el numerador?
Respuesta
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eljenso
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Una pista sobre el numerador: Si cada término se divide por $(n+1)^a$ el numerador sobre el que se convierte en una suma de Riemann para la integral de $x^a$ para $x \in [0,1].$ [Falta un término pero eso no importa] Así que esa parte de la expresión se aproxima $1/(a+1)$ como $n \to \infty.$ Tal vez en combinación con el resto que ha encontrado, esto puede dar una forma cerrada que luego se puede establecer en $1/60$ para resolver $a.$
Nota añadida: también hay que sacar un factor de $1/n$ para la anchura de los rectángulos, que se incorpora a la parte de la suma de Riemann. Esto marcará una diferencia en el aspecto de la sección restante antes de tomar su límite para $n \to \infty.$ [Si es conveniente, se podría utilizar un factor de $1/(n+1)$ para esto, ya que $(1/n)/(1/(n+1) \to 1.$ ]
