Polinomio de grado 4 con coeficientes reales, given.m de dos raíces complejas

Question

Escribir en la forma f(z) = 0, donde f(z) es un polinomio de grado 4 con coeficientes reales, la ecuación de tener (3 + i) (1 + 3i) como dos de sus raíces.

Alguien me puede ayudar? Supongo que las otras dos raíces son (3-i) y (1-3i) como son los complejos conjugados de las raíces originales.

BUENO Gracias por tu respuesta, entiendo que la pregunta y la respuesta ahora y voy a utilizar que conjugar el teorema de los lotes a partir de ahora.

PREGUNTA 2

Encontrar la raíz real de la ecuación z3 + z + 10 = 0 dado que uno de los complejos de raíz es 1 – 2i.

Me he dado cuenta de que las raíces son (1-2i), (1+2i), y un número real vamos a llamar a un

Así que, usando el teorema de me (z-1-2i)(z-1+2i)(z-x)

Ni idea de a dónde ir.

Answer 1

Su razonamiento está bien, y usted puede conseguir un polinomio con estas raíces tomando el producto de factores $z-\alpha$ $\alpha$ Dónde está las raíces:

$$(z-3-i)(z-3+i)(z-1-3i)(z-1+3i) = 0$$

Entonces, puede simplificar, ya sea por multiplicando hacia fuera de los soportes, en pares, como está escrito anteriormente, para mantener el álgebra sencilla:

$$(z-3-i)(z-3+i)(z-1-3i)(z-1+3i) = [(z-3)^2+1][(z-1)^2+9]\= (z^2-6z+10)(z^2-2z+10), \text{etc.}$$

Es una identidad muy útil para recordar en estas situaciones:

$$(a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2$$

con opciones convenientes para $a$ y $b$.

Answer 2

Si usted dice que un número en particular es una raíz, que significa $x$ menos que el número debe ser un factor. Por lo $(x-(3+i))$ $(x-(1+3i))$ debe ser factores.

Usted dice que tiene coeficientes reales. Que implica si $(x-(3+i))$ es un factor, a continuación, $(x-(3-i))$ debe ser también un factor, y si $(x-(i+3))$ es un factor, a continuación, $(x-(i-3))$ debe ser un factor. Los dos números de $3\pm i$ son complejos conjugados y los dos números de $1\pm 3i$ son cada uno de los otros complejos conjugados. Viniendo en el complejo conjugado de pares es lo que puede hacer la imaginaria cancelar cuando muliply el polinomio.

Ahora tiene cuatro de primer grado de los factores, por lo que, cuando se multiplica, se obtiene un cuarto de grado del polinomio.