La órbita unitaria de las matrices de Jordania

Question

Deje $$ \ mathcal {J} = \ {A \ en M_n (\ mathbb {C}): \ A \ text {es una matriz de Jordan} \} $$ Entonces es bien sabido que la órbita similar de$\mathcal{J}$ es todo de$M_n(\mathbb{C})$.

La pregunta es,

¿Cuál es la órbita unitaria de$\mathcal{J}$? ¿Es denso?

No puede ser todo de$M_n(\mathbb{C})$, porque cada matriz en$\mathcal{J}$ y sus conjugados unitarios tienen la propiedad de que los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales entre sí.

Answer 1

No puede ser denso excepto en el caso trivial de$n=1$. La dimensión (real) de$U(n)$ es$n^2$, mientras que la dimensión de$Gl_n(\mathbb{C})$ es$2n^2$, ya que$\mathcal{J}$ tiene la dimensión$n$ (en el sentido de que es una unión de las matrices diagonales junto con uniones de varios bloques Jordan de cosas de menor dimensión ya que podemos elegir menos valores propios), el$U(n)$ orbitar a través de$\mathcal{J}$ tiene una dimensión como máximo$n^2+n$.

Pero$n^2 + n\leq 2n^2$ a menos que$n=n^2$, es decir,$n=0$ o$n=1$.

Answer 2

Es el conjunto de $n \times n$ matrices $A$ que hay un orthormal base $\{u_j:\ j=1\ldots n\}$ que es la unión de bloques de $\{u_j:\ a \le j \le b\}$ donde $u_a$ es un autovector de a $A$ para algunos autovalor $\lambda$ $A u_j = \lambda u_j + u_{j-1}$ $a+1 \le j \le b$. Bueno, esa es reafirmar el hecho de que la matriz de $A$ en esta base debe ser de Jordan en la forma.

EDIT: he aquí una condición necesaria, no estoy seguro de que es suficiente. $A = B + N$ donde $B$ es normal en la matriz y $N$ un nilpotent matriz que conmuta con $B$, y de tal manera que $N^k (N^k)^*$ $(N^k)^* N^k$ son ortogonales proyecciones para cada entero positivo $k$.