Rango de la curva elíptica $y^2=x^3+px$

Question

Necesito demostrar que es el rango de la curva $y^2=x^3+px$ $0$, si $p\equiv 7 \pmod {16}$ es una privilegiada. Usando la técnica estándar, debemos mostrar que ninguna de las dos ecuaciones siguientes admite una solución del número entero M, N y e (con M, N y e coprimo pares; M, e distinto de cero):
$2M^4-2pe^4=N^2$
$4M^4-pe^4=N^2$

Tengo esto después de modulo 16. Sin embargo, $2M^4-2pe^4=N^2$ $4M^4-pe^4=N^2$ do admitir soluciones en $Z/16Z$

Answer 1

Esto se muestra en "La aritmética de curvas elípticas" de Silverman, capítulo X, sección 6 (la curva $Y^2=X^3+DX$), proposición 6.2.

Answer 2

$2M^4-2pe^4=N^2$, Vemos que el $N=2n$ % entero $n$. Sustituyendo en la ecuación y reducir por 2 obtenemos $2n^2=M^4-pe^4$. Ahora si $p\equiv 7(mod 16)$ entonces haz $n^2\equiv -3 (mod 16)$ lo $n^2\equiv -3 (mod 8)$ que es una contradicción. Porque $x^2\equiv 0,1,4(mod 8) $ % entero $x$.