Encuentre un $f$ y un $g$ dado que $$f(g(x)) = \sqrt{1-x^2},\\ g(f(x)) = \left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2$$
Estoy un poco confundido en este caso. ¿Podría $g(x)$ y $f(x)$ para las dos ecuaciones se represente como $x?$ ¿Y a partir de aquí a dónde vas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
anu
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No importa cómo se representen. Pueden parametrizarse como f(t) y g(t).
se puede sustituir x por f(x) en la primera ecuación y obtener $$f(g(f(x))) = \sqrt{1-(f(x))^2},\\ $$
y luego sustituir g(f(x)) en la ecuación anterior por lo siguiente:
$$g(f(x)) = \left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2$$
Tendrías una ecuación en una sola función que luego puedes manipular para obtener su definición.
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Nota $F = f^2$ y $\phi = g(f(x))$ . Sustituyendo $x$ por $f(x)$ en la primera ecuación y tomando $f(...)$ del segundo, terminas con $F + F \circ \phi = 1$ .
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Si se pregunta qué significan, tome por ejemplo $f(x)=\sqrt x$ y $g(x)=1-x^2$ . Entonces tenemos que $f(g(x)) =\sqrt{1-x^2}$ que satisface la primera ecuación. Sin embargo, $g(f(x)) =1-|x|$ que no es compatible con la segunda ecuación. Así que esos no son los $f$ y $g$ .
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@Arthur ¿Entonces para la segunda ecuación sería x^2 y x-2/x-1?
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Sí. Pero tienes que encontrar un $f$ y un $g$ que funciona para ambas ecuaciones en el al mismo tiempo .