¿Por qué la definición de un abrir subscheme / abrir la inmersión de los esquemas de permitir un "extra" isomorfismo?

Question

Después de tomar un curso de geometría algebraica del año pasado, he estado revisando el material de este año, y me acordé de algo que me pareció extraño, pero que me había olvidado de preguntar acerca en el tiempo:

Hartshorne la definición de un abrir subscheme y abierto a la inmersión (p.85):

Un abrir subscheme de un esquema de $X$ es un esquema de $U$, cuyo espacio topológico es un subconjunto abierto de $X$, y cuya estructura gavilla $\mathcal{O}_U$ es isomorfo a la restricción $\mathcal{O}_X|_U$ de la estructura de la gavilla de $X$. Un abierto de inmersión es una de morfismos $f:X\to Y$, lo que induce un isomorfismo de $X$ con una subscheme de $Y$.

Sin embargo, muchas otras fuentes (como la Wikipedia) ir con un abrir subscheme ser un esquema de $Z$ de la forma $(U,\mathcal{O}_X|_U)$ donde $U\subseteq X$ es un subconjunto abierto y, a continuación, la definición de un abierto de inmersión a ser una de morfismos $f:Y\to X$ que factores a través de un isomorfismo con una subscheme, es decir, hay un isomorfismo de esquemas $g:Y\,\stackrel{\sim}{\to} Z$ tal que $f=i\circ g$ donde $i:Z\to X$ es la inclusión del mapa.

¿Por qué hacer estos (muy sutilmente) más definiciones generales? Claramente, hay algún tema que es abordado por hacer bien la definición de abrir subscheme, o que de abrir la inmersión, contienen este "extra" isomorfismo. No puedo tratar de cosas que son isomorfos como "iguales", por lo que entiendo que esta definición no es realmente equivalente. Pero sin duda la definición de un subgrupo de un grupo de $G$ a "un grupo de $H$ cuyo conjunto subyacente es un subconjunto de a $G$ y cuyo funcionamiento es isomorfo a la restricción de la operación de $G$" el sonido de un poco de descanso?

Answer 1

La definición de abrir subscheme en Hartshorne es tan mala que la primera frase se escribe después de que es falso!
La frase es: tenga en cuenta que cada subconjunto abierto de un esquema lleva a una estructura única de abrir subscheme (Ex.2.2).
Esto es falso: de hecho, la sustitución de $\mathcal O_{X|U}$ isomorfo gavilla obtendrá otro esquema (aunque isomorfo, por supuesto) y la supuesta unicidad no espera.
Y usted realmente conseguir otros sistemas debido a que un sistema es un par formado por un espacio topológico y una gavilla por primicia de los anillos, no es un isomorfismo de la clase de las poleas de los anillos.
Para que la recogida de subscheme estructuras en un subconjunto $U$ de un esquema de $X$ ni siquiera podría ser un conjunto con Hartshorne la definición ...

Por supuesto, en EGA, Görz-Wedhorn, Qing Liu,... se encuentra la definición razonable de que un abrir subscheme de $X$ es un subconjunto abierto $U\subset X$ dotado con la restringida gavilla $\mathcal O_{X|U}$ , y no arbitraria gavilla isomorfo a. Por supuesto, hay un canónica de morfismos de esquemas $j:U\to X$

Edit: Abrir inmersiones una Vez que usted tenga la correcta noción de abrir subscheme, usted no tiene ninguna opción para definir un abrir inmersión $Y\to X$. El natural de la idea es que usted quiere que sea un isomorfismo $g:Y \stackrel {\sim}{\to} U $ donde $U\subset X$ es una subscheme. Sin embargo, esto tiene el objetivo equivocado, por lo que acaba de componer con la canónica de morfismos $j:U\to X$ mencionado anteriormente y se obtiene la necesaria inmersión $f=j\circ g:Y\to X$, como Wikipedia y la mayoría de las otras referencias decir.
Y, muy satisfactoriamente, $j:U\to X$ sí es entonces un abierto de inmersión ( tome $g=id_U$).

Un criterio para ser un abierto de inmersión: En la práctica para demostrar que un morfismos $f:Y\to X$ es una inmersión, es suficiente para comprobar que:
a) $f$ induce un homeomorphism de $Y$ al subconjunto $U$$X$.
b) Para todos los $y\in Y$ el local de morfismos $f^\ast_y: \mathcal O_{X,f(y)} \to \mathcal O_{Y,y}$ es un isomorfismo de los locales de los anillos.

PD no hace falta decir, tengo una inmensa admiración por Hartshorne: estoy criticando a una definición en un libro, y ciertamente no muy grande, amable matemático.