Confusión acerca de prueba de la unidad de bolas no son compactos en espacios normados Dimensional infinito con Riesz ' s lema

Question

Podemos construir una secuencia tal que$\|x_n-x_m\|\gt 1/2$ usando Lemma de Riesz. No es una secuencia de Cauchy y, por lo tanto, no es una secuencia convergente.

Mi pregunta: en mis notas "ya que la secuencia no es convergente, no tiene una subsecuencia convergente" ha sido escrita. Pero cuando$(-1)^n$ no es convergente, su subsecuencia es$(-1)^{2n}$ convergente a$1$. ¿Cómo podemos decir que no tiene una subsecuencia convergente? Donde estoy equivocado, no pude darme cuenta. Muchas gracias

Answer 1

Sí, eso parece un error en las notas.

La conclusión lleva a cabo, pero por diversas razones. El % de hecho $|x_n-x_m|>\frac 12$significa que no subsequence puede Cauchy, y puesto que las secuencias convergentes son siempre Cauchy, esto no significa que subsequence convergente tampoco.