¿Por qué el límite de $\frac{e^{-\frac{1}{z^4}}}{z}$ no existe?

Question

Mi maestro dijo sin explicar que el límite de $\frac{e^{-\frac{1}{z^4}}}{z}$, $z\rightarrow 0$, donde $z$ es un número complejo no existe. ¿Por qué es esto cierto?

Answer 1

Considerar las secuencias $$ a_n=\dfrac1n,\quad b_n=\dfrac1ne^{i\pi/4}. $$ Ambos convergen a $0$, es decir, $$ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0, $$ pero $$ \lim_{n\to\infty}\dfrac{e^{-\dfrac{1}{a_n^4}}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}ne^{-n^4}=0, $$ mientras $$ \lim_{n\to\infty}\dfrac{e^{-\dfrac{1}{b_n^4}}}{b_n}=e^{-i\pi/4}\lim_{n\to\infty}ne^{n^4}=\infty. $$

Answer 2

La forma más sencilla para probar que esto es usar el poder de la serie.

$$e^z = \sum_0^\infty \frac{z^n}{n!}$$

Así

$$e^\frac{-1}{z^4} = \sum_0^\infty \frac{(-1)^n}{z^{4n}n!}$$

Y

$$\frac{e^\frac{-1}{z^4}}{z} = \sum_0^\infty \frac{(-1)^n}{z^{4n+1}n!}$$

Esto ciertamente no tiene límite finito. Tiene una singularidad esencial en a $0$ por el Casorati-Weierstrass teorema no tiene límite (incluso no $\infty$)$0$.