Español Matemáticas Olimpiada

Question

En el circumscircle de un triángulo $ABC$, vamos a $A_1$ ser el punto diametralmente opuesto al vértice $A$. Deje $A'$ el punto de intersección de $AA'$$BC$. La perpendicular a la línea de $AA'$ $A'$ cumple con los lados $AB$$AC$$M$$N$, respectivamente. Demostrar que los puntos a $A,M,A_1$ $N$ mentira en un círculo que tiene el centro en la altura de $A$ del triángulo $ABC$. Esta fue la declaración de

Mi solución:

Primero vamos a comprobar que $ANA_1M$ mentira en el mismo círculo. Observar que $A'NCA_1$ son concyclic, ya $\angle NA'A_1=\angle NCA_1=90^o$, de aquí a $\angle NA_1A'=\angle ACB$. Ahora es fácil ver que $\angle ANA'=\angle ABC$, por lo tanto $\angle AMN=180-(\angle BAC+\angle ABC)=\angle ACB=\angle NA_1A'$, por lo que se encuentran en el mismo círculo.

Ahora, en orden a la prueba de que el centro del círculo de la mentira en la altura de $A$ del triángulo $ABC$ lo sacamos, y llame a $P$ la intersección de que el círculo de $AMA_1N$. Permite evaluar el ángulo de $\angle AA_1P$. Desde $PANA_1$ a li en el mismo círculo $\angle NA_1P=180-\angle NAP=180-(90-\angle ACB)=90+\angle ACB$. Ahora $\angle AA_1P=\angle NA_1P-\angle NA_1A'=90+\angle ACB-\angle ACB=90^o$ $APA_1$ es un ángulo recto del triángulo cuya circunferencia circunscrita es el mismo que $AMA_1N$ por lo tanto el centro se encuentra en $AP$ que nos dijo que para estar a la altura de la $A$. Un problema muy fácil.

Es mi prueba correcta?

Answer 1

Yup! Esto se parece a una correcta prueba