Cómo mostrar el proceso siguiente es una martingala local, pero no una martingala?

Question

Estoy enfrentado con el mismo problema en este hilo, que no ha tenido una respuesta completa todavía.

En la secuela, denotamos por a $Y^T$ el proceso detenido $Y^T_t = Y_{T \wedge t}$. Considere el siguiente proceso: $$ X_t = \begin{cases} W_{t/(1-t)}^T &\text{for } 0 \le t < 1,\\ -1 &\text{for } 1 \le t < \infty. \end{casos} $$ donde $W$ es un movimiento Browniano y $T = \inf\{t: W_t = -1\}$. Es fácil decir que $X$ no es una martingala. Ahora en la wikipedia, que dice que la secuencia de los tiempos de parada $\{\tau_k\}$ se localiza $X$ donde $\tau_k = \inf\{t: X_t = k\} \wedge k$.

Estoy confundido acerca de cómo demostrar tal afirmación. Los "detalles" en la página web parece un poco oscuro para mí.

Por otro lado, he encontrado en el libro "cálculo Estocástico y aplicaciones" en la página 133, Ejemplo 5.6.9) un ejemplo similar. Los autores consideran que el proceso de $X_t+1$ (donde $X_t$ se define como en nuestro problema) y la uniformidad en símbolos que cambiar ligeramente su prueba. A diferencia del ejemplo en la wikipedia, que especifique de forma explícita la filtración $\{\tilde{\mathscr{F}}_t = \mathscr{F}_{t/(1-t)}\}$ a que, como afirman, $X_t$ es local martingala. Construcción de los siguientes tiempos de parada: $$ S_n = (\frac{n}{n+1})I(T \geq n) + (\frac{T}{T+1}+n)I(T<n) $$ Luego dicen que la siguiente ecuación puede ser establecida: $$ X^{S_n}_t = W^{T \wedge n}_{t/(1-t)}, $$ lo que implica que $X^{S_n}$ $\{\tilde{\mathscr{F}_t}\}$- martingala.

A mí el segundo enfoque no está claro. De hecho, yo no puedo ver cómo, en su prueba de $\tilde{\mathscr{F}_t}$ puede ser definido por $t \geq 1$. También, $X^{S_n}_t = W^{T \wedge n}_{t/(1-t)}$ parece sostener sólo por $t<1$. Después de hacer un poco de álgebra I get $$ X^{S_n}_t = W^{T \wedge n}_{t/(1-t)} I(t<1) + W_{T \wedge n} I(t \geq 1), $$ en su lugar. El último término en la ecuación anterior, es decir,$W_{T \wedge n} I(t \geq 1)$, frustra a mí en un intento de mostrar la martingala de la propiedad de $X^{S_n}$.

Yo también se lo considera un enfoque alternativo: mostrar que para cualquier acotado el tiempo de parada $S$, $E[X^{S_n}_S] = 0$. Todavía yo no se pudo completar la prueba.

Alguien me puede ayudar con este problema?

Answer 1

Tenemos que mostrar que $(X_t^{S_n})_{t \geq 0}$ es una martingala. Desde $$X_t^{S_n} = W_{t/(1-t)}^{T \wedge n} 1_{\{t<1\}} + W_{T \wedge n} 1_{\{t \geq 1\}}$$ de esta manera si podemos demostrar la siguiente proposición.

La proposición Deje $(W_t)_{t \geq 0}$ ser un movimiento Browniano. Entonces $$Y_t := W_{t/(1-t)}^{T \wedge n} 1_{\{t<1\}} + W_{T \wedge n} 1_{\{t \geq 1\}}$$ is a martingale with respect to $$\tilde{\mathcal{F}}_t := \begin{cases} \sigma(W_u; u \leq t/(1-t)) & t \in [0,1) \\ \sigma(W_u; u \geq 0), & t \geq 1. \end{cases}$$

Prueba: Desde $(W_t)_{t \geq 0}$ es una martingala con respecto a la canónica de filtración $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$, de la siguiente manera opcional detener teorema que $(W_t^{T \wedge n})_{t \geq 0}$ es una martingala, es decir,

$$\mathbb{E}(W_v^{T \wedge n} \mid \mathcal{F}_u) = W_u^{T \wedge n} \qquad \text{for all $u \leq v$}. \tag{1}$$

Para $v=n$ esto demuestra, en particular,

$$\mathbb{E}(W_{T \wedge n} \mid \mathcal{F}_u) = W_u^{T \wedge n} \tag{2}.$$

Ahora fix $s \leq t <1$. Entonces $$u := \frac{s}{1-s} \leq \frac{t}{1-t} =: v$$ and therefore $(1)$ gives $$\mathbb{E}(Y_t \mid \tilde{\mathcal{F}}_s) = Y_s, \qquad s \leq t <1. \tag{3}$$

Para $t=1$ podemos usar $(2)$ a la conclusión de que la $$\mathbb{E}(Y_1 \mid \tilde{\mathcal{F}}_s) = Y_s, \qquad s \leq 1. \tag{4}$$

Por último, si $t>1$ $Y_t = W_{T \wedge n}$ $\tilde{\mathcal{F}}_s$- medible para cualquier $s \geq 1$, y por lo tanto

$$\mathbb{E}(Y_t \mid \tilde{\mathcal{F}}_s) = Y_t = Y_s \qquad \text{for all $1 \leq s \leq t$}. \tag{5}$$

Si $s \in (0,1)$, entonces se sigue de la torre de la propiedad y $(4)$, $(5)$ que

$$\mathbb{E}(Y_t \mid \tilde{\mathcal{F}}_s) = Y_s \qquad \text{for all $s < 1 \leq t$.}$$

La combinación de las anteriores consideraciones, nos encontramos con que $(Y_t, \tilde{\mathcal{F}}_t)_{t \geq 0}$ es una martingala.