Estoy leyendo sobre Matrices laplacianas por primera vez y luchando por intuir por qué son tan útiles. ¿Podría alguien proporcionar una idea sobre el significado geométrico del laplaciano de un gráfico? Por ejemplo, ¿por qué los vectores propios de una matriz laplaciana son útiles para interpretar el gráfico correspondiente?
La matriz laplaciana se utiliza para calcular algunas propiedades de su correspondiente gráfico. Por ejemplo:
1-El número de componentes conectados del gráfico $G$ es igual a la multiplicidad del valor propio del laplaciano 0( que está en $L(G)$ ).
2-El cofactor de cualquier elemento de $L(G)$ es igual al número de árboles de expansión de $G$ .
Cuando el gráfico es $d$ -regular entonces existe una relación directa entre el espectro de martix de adyacencia y el espectro laplaciano.
La matriz laplaciana se suele utilizar cuando el gráfico es irregular.
Quizá la definición más natural sea la (orientada) transformación de la incidencia .
La transformación de incidencia de una arista $(u,v)$ se define por $E(u,v) = v - u$ .
Su adjunto $E^*$ tiene una definición dual, llevando los vértices a la suma de las aristas entrantes menos la suma de las salientes.
El Laplaciano es simplemente $L=EE^*$ . Así, por ejemplo, sus valores y vectores propios están relacionados con los valores y vectores singulares de la transformación de incidencia.
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