Utilizando la definición $$\pmatrix{p_n&p_{n-1}\\q_n&q_{n-1}} = \pmatrix{a_0&1\\1&0} \pmatrix{a_1&1\\1&0} \cdots \pmatrix{a_n&1\\1&0}$$ Necesito demostrar que $p_n/q_n$ es la fracción continua $[a_0;a_1, ..., a_n]$
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La notación de fracción continua significa $$[a;m] = a + 1/[m].$$
Desde $$\pmatrix{p_0&p_{-1}\\q_0&q_{-1}} = \pmatrix{a_N&1\\1&0}$$ tomamos como caso base $(p_0,q_0) = (a_N,1)$ , $(p_{-1},q_{-1}) = (1,0)$ . Esto es trivial.
El resto lo demostramos por inducción. Si $p_n/q_n$ es el convergente para $[m]$ entonces $$p_{n+1}/q_{n+1} = a + 1/[m] = a + q_n/p_n = \frac{a p_n + q_n}{p_n}.$$
Así que para completar la prueba comprobamos $$\pmatrix{p_{n+1}&p_{n}\\q_{n+1}&q_{n}} = \pmatrix{a p_{n} + q_n &p_{n}\\p_{n}&q_{n}} = \pmatrix{a&1\\1&0}\pmatrix{p_n&p_{n-1}\\q_n&q_{n-1}}.$$
