Una medida cuantitativa de la fila de una matriz

Question

El rango de una matriz es única definidos como números enteros. Hay algunos otros criterios, que es más cuantitativa.

E. g. $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix} $$

$$B= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0.999\\ \end{bmatrix} $$ $A$ es "mejor clasificados" de $B$

EDITAR:

Contexto:

Estoy juzgando la observabilidad $O$ de un sistema. Tengo dos matrices

$$ dim(A) = n\times n$$ $$ dim(C) = m\times n$$

$$O = \begin{bmatrix} C \\ C A \\ C A^2 \\ \vdots \\ C A^{n-1} \end{bmatrix}$$

El sistema es observable si $O$ es completa en el puesto. Lo que yo quiero es ser capaz de diferenciar entre observabilities de los sistemas de

Answer 1

Hay algo así como la condición de una matriz. Esta es una medida de qué tan fuerte errores en los datos de infligir el error de su resultado. Esto es para $n\times n$ Matrices definida que se invertible, cuando usted tiene Matrixnorm. $$\operatorname{cond}(A)=\|A\|\cdot \|A^{-1}\|$$ donde $\|\cdot\|$ es una matriz de una norma.

Esto es relevante para numéricas como las calculadoras tienen a menudo un error de $10^{-16}$ (precisión de la máquina). Así que me gustaría saber qué pasa, qué tan fuerte es la diferencia entre su solución y la solución real.

Como se mencionó para no cuadrados de la Matriz puede utilizar $A^T A$ que es invertible al $A$ tiene el máximo rango.

Answer 2

Me gustaría tratar de construir un criterio basado en los valores singulares. Consulte este artículo de la Wikipedia para empezar. Los valores singulares de una matriz de $A$ son las raíces cuadradas de los valores propios de a $AA^T$. Con su matriz $A$ tenemos $$ AA^T=\left(\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}\right). $$ Los valores propios de esta matriz son $$\lambda_1^2=\frac{3+\sqrt{5}}2\qquad\text{and}\qquad \lambda_2^2=\frac{3-\sqrt{5}}2.$$ Mientras que $\lambda_2$ es claramente menor que $\lambda_1$, no se acerca peligrosamente a cero.

Con la otra matriz en la otra mano tenemos $$ BB^T=\left(\begin{array}{cc}2&1.999\\1.999&1.998001\end{array}\right). $$ El menor autovalor de esta matriz es muy cercano a cero (al menos en comparación con el más grande) - lo siento, no tenemos la CAS en este portátil todavía, así que no puedo dar los valores aproximados :-)

Valores singulares de trabajo mejor que los autovalores, debido a que el polinomio característico de una matriz no distingue entre $$ \left(\begin{array}{cc}1&100\\0&1\end{array}\right)\qquad\text{y}\qquad \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right). $$

No tengo un criterio definido en mente. Puede ser el Wikiarticle ayuda o alguien puede dar un estudiado solución.