Deje $f(x) =\int^x_1 \frac{\ln t}{1+t}dt ;$$x >0$, a continuación, encontrar el valor de $f(e) +f(\frac{1}{e})$

Question

Problema :

Deje $f(x) =\int^x_1 \frac{\ln t}{1+t}dt ;$$x >0$, a continuación, encontrar el valor de $f(e) +f(\frac{1}{e})$

por favor, probar alguna sugerencia sobre esto, ya no estoy recibiendo ninguna idea de cómo proceder aquí, gracias

Answer 1

Sub $t = 1/u$ en la integral; a continuación,

$$f(x) = \int_1^{1/x} \frac{du}{u} \frac{\log{u}}{1+u} = \int_1^{1/x} du \, \log{u} \, \left (\frac1u - \frac1{1+u} \right ) = \frac12 \log^2{x} - f \left (\frac1x \right )$$

Así

$$f(e) + f \left (\frac1e \right ) = \frac12 $$

Answer 2

Dado $$f(x) = \int_{1}^{x}\frac{\ln t}{1+t}dt$$ and $$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{\ln t}{1+t}dt$$

Por lo $$F(x) = \int_{1}^{x}\frac{\ln t}{1+t}dt+\int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{\ln t}{1+t}dt$$

Ahora el Uso de la Diferenciación bajo el Signo Integral, obtenemos

$$F'(x)=\frac{\ln x}{1+x}+\frac{\ln x}{(1+x)x} = \frac{\ln x\cdot (1+x)}{(1+x)\cdot x}$$

Así, obtenemos $$F'(x) = \int\frac{\ln x}{x}dx\Rightarrow \int F'(x)dx = \int \frac{\ln x}{x}dx$$

Así, obtenemos $$F(x) = \frac{(\ln x)^2}{2}+\mathcal{C}$$

Ahora en $x=1\;,$ obtenemos $$F(1) = f(1)+f\left(\frac{1}{1}\right)=0$$

Así, obtenemos $$F(1)= \frac{(\ln(1))^2}{2}+\mathcal{C}$$

Así, obtenemos $\mathcal{C=0}\;,$ $$F(x)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{(\ln x)^2}{2}$$

Así, obtenemos $$F(e)=f(e)+f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{(\ln e)^2}{2}=\frac{1}{2}$$