Manipule $g(x) = \frac{1}{2x}\left(1 - \sum_{k=0}^{\infty}{1/2 \choose k}(-4x)^k\right)$ en $g(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{1/2 \choose n+1}(-1)^n2^{2n+1}x^n$
Sé que debo sustituir n + 1 por k para que la suma comience en 0, así que puedo ver de dónde viene parte de la segunda representación, pero estoy perdido en cómo manipular las otras partes para obtener la forma deseada. ¿Alguien puede explicar cómo hacerlo?
$$\begin{align*} \frac1{2x}\left(1-\sum_{k\ge 0}\binom{1/2}k(-4x)^k\right)&=\frac1{2x}\left(1-\sum_{k\ge 0}\binom{1/2}k(-1)^k2^{2k}x^k\right)\\ &=\frac1{2x}\left(1-\sum_{k\ge -1}\binom{1/2}{k+1}(-1)^{k+1}2^{2k+2}x^{k+1}\right)\\ &=\frac1{2x}-\sum_{k\ge -1}\binom{1/2}{k+1}(-1)^{k+1}2^{2k+1}x^k\\ &=\frac1{2x}+\sum_{k\ge -1}\binom{1/2}{k+1}(-1)^k2^{2k+1}x^k\\ &=\frac1{2x}+\binom{1/2}0(-1)^{-1}2^{-1}x^{-1}+\sum_{k\ge 0}\binom{1/2}{k+1}(-1)^k2^{2k+1}x^k\\ &=\frac1{2x}-\frac1{2x}+\sum_{k\ge 0}\binom{1/2}{k+1}(-1)^k2^{2k+1}x^k\\ &=\sum_{k\ge 0}\binom{1/2}{k+1}(-1)^k2^{2k+1}x^k \end{align*}$$
Gracias, ¿tienes alguna sugerencia de documentación para trabajar con coeficientes binomiales? Ahora estoy tratando de manipular 1/2 elegir n+1 y 2n elegir n en formas alternativas.
@mandib: De nada. Realmente depende del tipo de formas que pretendas. Tienes $$\binom{1/2}{k+1}=\frac{(-1)^k(2k-1)!!}{2^{k+1}(k+1)!}=\frac{(-1)^k(2k)!}{2^{2k+1}k!(k+1)!}=\frac{(-1)^k}{2^{2k+1}(k+1)}\binom{2k}k\;,$$ si no me he liado haciendo el álgebra en mi cabeza y escribiendo en un pequeño dispositivo móvil, y esto último es $$\frac{(-1)^k}{2^{2k+1}}C_k\;.$$
Para $$\binom{1/2}{k+1}$$ Estoy tratando de forzarlo en $$\frac{1}{n+1}\binom{n-1/2}{n}(-1)^n\frac{1}{2}$$
Una variación ligeramente diferente:
\begin {align*} \frac {1}{2x} \left (1- \sum_ {k=0}^ \infty\binom { \frac {1}{2}}{k}(-4x)^k \right )&= \frac {1}{2x} \left (- \sum_ {k=1}^ \infty\binom { \frac {1}{2}}{k}(-4x)^k \right ) \tag {1} \\ &= \frac {1}{2x} \left (- \sum_ {k=1}^ \infty\binom { \frac {1}{2}}{k}(-1)^k2^{2k}x^k \right ) \tag {2} \\ &= \sum_ {k=1}^ \infty\binom { \frac {1}{2}}{k}(-1)^{k-1}2^{2k-1}x^{k-1} \tag {3} \\ &= \sum_ {k=0}^ \infty\binom { \frac {1}{2}}{k+1}(-1)^{k}2^{2k+1}x^{k} \tag {4} \\ \end {align*}
Comentario:
En (1) el sumando con $k=0$ se anula
En (2) escribimos $(-4x)^k=(-1)^k2^{2k}x^k$
En (3) multiplicamos cada sumando de la serie por $-\frac{1}{2x}$
En (4) desplazamos el índice $k$ por uno para empezar de cero
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