¿Existe una secuencia tal que $a_n\to0$ , $na_n\to\infty$ y $\left(na_{n+1}-\sum_{k=1}^n a_k\right)$ ¿es convergente?

Question

¿Existe una secuencia positiva decreciente $(a_n)_{n\ge 0}$ tal que

${\it i.}$ $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$ .

${\it ii.}$ $\lim\limits_{n\to\infty} na_n=\infty$ .

${\it iii.}$ hay un verdadero $\ell$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty} \left(na_{n+1}-\sum_{k=1}^n a_k\right)=\ell.$

Por supuesto sin condición ${\it i.}$ Las secuencias constantes son ejemplos no crecientes que satisfacen las otras dos condiciones, pero el requisito de que la secuencia sea decreciente a cero hace que sea difícil de encontrar.

Answer 1

No existe tal secuencia. Sea $s_n=\sum_{k=1}^n a_k$ . Por (iii) podemos escribir $$ n(s_{n+1}-s_n) - s_n = \ell + b_n = \ell(n+1-n)+ b_n$$ donde $b_n\to0$ . Entonces se deduce que para todo $n\ge1$ , $$ \frac{s_{n+1}+\ell}{n+1} = \frac{s_n+\ell}n + \frac{b_n}{n(n+1)} = \frac{s_1+\ell}1 + \sum_{k=1}^n \frac{b_k}{k(k+1)} = A+c_{n+1},$$ donde $$ A = s_1+\ell+\sum_{k=1}^\infty \frac{b_k}{k(k+1)}$$ es finito, y $$ c_{n+1} = -\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b_k}{k(k+1)},$$ que satisface $$ |c_n| \le \sup_{k\ge n}|b_k| \sum_{k=n}^\infty \left( \frac1k-\frac{1}{k+1}\right) = \frac1n \sup_{k\ge n}|b_k| $$ Por lo tanto, $nc_n\to 0$ como $n\to\infty$ .

Pero ahora sigue $$a_{n+1} = (s_{n+1}+\ell)-(s_n+\ell) = (n+1)(A+c_{n+1})-n(A+c_n) \to A,$$ por lo que $A=0$ por (i). Entonces se deduce además que $$ s_n + \ell = n c_n \to 0,$$ de donde la serie $\sum_{k=1}^\infty a_k$ converge a $-\ell$ . Pero esto es imposible, ya que por (ii) tenemos $a_k\ge1/k$ para $k$ lo suficientemente grande.

Answer 2

Un intento:

Supongamos que dicha secuencia existe. Ponga $\displaystyle na_{n+1}=\sum_{k=1}^n a_k+L+e_n$ con $e_n\to 0$ . Sustitución de $n$ por $n+1$ obtenemos $$(n+1)(a_{n+1}-a_{n+2})=e_n-e_{n+1}$$

Como $a_n$ es decreciente, obtenemos que $e_n$ también disminuye. Ahora como $e_n\to 0$ tenemos $e_n\geq 0$ y $\displaystyle a_{n+1}-a_{n+2}=\frac{e_n-e_{n+1}}{n+1} \leq \frac{e_n}{n}-\frac{e_{n+1}}{n+1}$ . Esto demuestra que para $m\geq 2$ tenemos $$a_{n+1}\leq a_{n+m+2}+\frac{e_n}{n}-\frac{e_{n+m+1}}{n+m+1}\leq a_{n+m+1}+\frac{e_n}{n}$$ Si $m\to +\infty$ obtenemos $na_{n+1}\leq e_n$ Por lo tanto $na_n\to 0$ y la condición ii) no se cumple cuando las condiciones i) y iii) lo son.

Answer 3

Supongamos que $\{a_n\}$ existe.

Dejemos que $a_n = f (n)$ . Por i y ii tenemos $f (n) = o (1)$ y $f (n) = \Omega (1/n)$ . Por la fórmula de suma de Euler-McLaurin, tenemos $$\sum_{k = 1}^{n} f (k) = c_1 F (n) + o (F (n))$$ para una constante $c_1$ , donde $F$ es antiderivada de $f$ y $F (n) = o (n)$ y $F (n) = \Omega (1)$ . Entonces, por iii tenemos

$\begin {eqnarray} n a_{n + 1} - \sum_{k = 1}^{n} a_k & = & n f (n + 1) - \left(c_1 F (n) + o (F (n)\right) \nonumber \\ & = & c_2 F (n) + o (F (n)) - \left(c_1 F (n) + o (F (n))\right) \nonumber \\ & = & (c_1 - c_2) F (n) + o (F (n)) \nonumber \\ & = & O (F (n)) \nonumber \\ & = & \Omega (1), \end {eqnarray}$

pero $\Omega (1)_{n \to \infty} = \infty$ una contradicción. Por lo tanto, $\{a_n\}$ no existe.