Estoy buscando ejemplos explícitos de anillos Dedekind con número de clase infinito. En la mayoría de los libros de teoría algebraica de números hay un ejemplo estándar (antes o después de demostrar que el número de clase es finito para el anillo de enteros en un campo numérico), a saber $$ \mathbb{C}[x,y]/(y^2-x^3-ax-b), $$ para curvas elípticas afines $y^2=x^3+ax+b$ es decir, con $-4a^3-27b^2\neq 0$ .
¿Hay otros ejemplos explícitos, posiblemente incluso con una buena prueba de que el número de clase es infinito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Generalizando su ejemplo, tenemos lo siguiente:
Si $X/\mathbf C$ es cualquier curva proyectiva suave de género $g>0$ y $U=\text{Spec }A$ es cualquier afín abierto de ella, entonces $A$ es un anillo Dedekind cuyo grupo de Picard tiene la cardinalidad del continuo.
La razón es que $Pic(X)$ es (hasta la elección de un punto base) canónicamente isomorfo a $\mathbf Z\times Pic(X)_0$ , donde $Pic(X)_0$ es el grupo de $\mathbf C$ -de una variedad abeliana de dimensión $g$ en $\mathbf C$ .
Al pasar de $X$ a $U$ el efecto sobre el grupo de Picard es esencialmente el de matar las clases de divisores con soporte en $X-U$ . Hay un número finito de ellos, así que $Pic(X)$ y $Pic(U)$ difieren por un grupo abeliano finitamente generado; en particular, tienen la misma cardinalidad.
