Ejemplos de anillos Dedekind con número de clase infinito

Question

Estoy buscando ejemplos explícitos de anillos Dedekind con número de clase infinito. En la mayoría de los libros de teoría algebraica de números hay un ejemplo estándar (antes o después de demostrar que el número de clase es finito para el anillo de enteros en un campo numérico), a saber $$\mathbb{C}[x,y]/(y^2-x^3-ax-b),$$ para curvas elípticas afines $y^2=x^3+ax+b$ es decir, con $-4a^3-27b^2\neq 0$ .
¿Hay otros ejemplos explícitos, posiblemente incluso con una buena prueba de que el número de clase es infinito?

Answer 1

Generalizando su ejemplo, tenemos lo siguiente:

Si $X/\mathbf C$ es cualquier curva proyectiva suave de género $g>0$ y $U=\text{Spec }A$ es cualquier afín abierto de ella, entonces $A$ es un anillo Dedekind cuyo grupo de Picard tiene la cardinalidad del continuo.

La razón es que $Pic(X)$ es (hasta la elección de un punto base) canónicamente isomorfo a $\mathbf Z\times Pic(X)_0$ , donde $Pic(X)_0$ es el grupo de $\mathbf C$ -de una variedad abeliana de dimensión $g$ en $\mathbf C$ .

Al pasar de $X$ a $U$ el efecto sobre el grupo de Picard es esencialmente el de matar las clases de divisores con soporte en $X-U$ . Hay un número finito de ellos, así que $Pic(X)$ y $Pic(U)$ difieren por un grupo abeliano finitamente generado; en particular, tienen la misma cardinalidad.