La diferenciación siempre es fácil?

Question

Hay muchos ejemplos de funciones reales de admisión antiderivatives (desde, por ejemplo, continuo), pero en la que la computación de hormigón con una antiderivada es un serio problema difícil, incluso si una escuela primaria existe.

¿Qué acerca de la diferenciación? Mi experiencia es que las reglas básicas de cálculo, junto con el término-a-término differentiantion de potencia de la serie hacen que la diferenciación de un do-it tipo de problema para prácticamente todos cotidiana tipos de funciones. De hecho, si sumamos el límite de cambio truco para uniformemente convergente de la secuencia de los derivados, no puedo pensar en ninguna ejemplos, en los que encontrar una forma cerrada para $f'$, dada una forma cerrada para $f$, no es una tarea mecánica.

Así que la pregunta es: ¿hay ejemplos de funciones reales $f$, de tal manera que

(1) $f$ se da en la "buena" forma cerrada $f(x)=\ldots$

(2) es "relativamente fácil" para justificar que $f$ es diferenciable

(3) calcular la derivada de $f$ es realmente duro.

Esto no es exactamente una pregunta precisa, pero podría haber un "saber cuando lo vea" ejemplo.

Answer 1

Creo que un ejemplo podría estar interesado es el Ternario de Cantor de la Función. Recordemos que el conjunto de Cantor está constituida por la unidad de intervalo de $[0,1]$, luego botar el tercio medio, luego botar el medio tercios de cada una de las resultantes de intervalo, y hacerlo infinidad de veces. El conjunto resultante es el conjunto de Cantor.

Usted puede leer la definición exacta de la función en el enlace, pero a grandes rasgos, es obvio que la función es constante en el complemento de la ternario de Cantor establece: los intervalos que tiró. Por lo que claramente la función tiene cero la derivada en estos intervalos. Menos obvio es que la función no es diferenciable en cualquier punto de la ternario de Cantor conjunto. Por otro lado, el ternario de Cantor conjunto de medida cero, por lo que en un sentido preciso de la función es derivable en casi todas partes. También es continua, lo que no es obvio! Así que es un ejemplo de una creciente, continua la función cuya derivada es 0 en casi todas partes!

Answer 2

Dada cualquier función compuesta de primaria composiciones de caso base de funciones elementales cuyos derivados son conocidos, es decir, comenzando con el caso base de funciones elementales y, a continuación, hacer nuevas funciones a través de la aplicación repetida de la adición, la multiplicación y la composición de funciones, las reglas estándar de la diferenciación decir que nos puede venir para arriba con una escuela primaria que la fórmula para la derivada siempre los derivados son "conocidos" para el caso base de funciones. Por lo tanto, su única esperanza para un ejemplo es algo así como un exótico función cuya definición se toma como dado, en términos de caso base exóticas funciones que son aceptables, pero cuya derivada no se expresó de manera similar en términos de la colección de "aceptado" caso base exóticas funciones. Pero esto parece un poco pedante.