La respuesta es "no" en la generalidad se plantea la pregunta, pero "sí" para cada ejemplo de preguntar acerca de.
Tonto contra-ejemplo: Dentro de $GL_1$, considere la posibilidad de $\{ (x) : p(x-1)=0 \}$. Dentro de $\mathbb{Z}_p$, la única solución es la matriz de identidad, pero en $\mathbb{F}_p$ cada matriz es una solución. También tenga en cuenta que$p(x^{-1}-1) = - x^{-1} p (x-1)$$p (xy-1) = p (x-1) + xp (y-1)$. Así que, para cualquier anillo conmutativo $R$, el conjunto de invertible elementos obedecer $p(x-1)=0$ es un grupo bajo la multiplicación. Esto demuestra que esta ecuación define un sub-grupo-esquema de $GL_1$.
Este ejemplo no es muy interesante, porque nos hemos impuesto la ecuación de $pf=0$ sin imponer $f=0$. Es natural único estudio en el sub-grupo-esquemas de $GL_n$ $\mathbb{Z}_p$ donde, si $pf$ es en la definición de ideal, entonces también lo es $f$. El término técnico es que sólo estamos interesados en el plano sub-grupo-esquemas de $GL_n$.
Un plano contraejemplo Deje $p=n=2$. Deje $i$ ser una raíz cuadrada de $-1$ en la clausura algebraica de $\mathbb{Q}_2$.
Escribir un elemento de $GL_2$$\left( \begin{smallmatrix} w & x \\ y & z \end{smallmatrix} \right)$. Considerar las ecuaciones
$$\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}c}
wx=xz=yz=wy=0 & w^2 x=z^2 x=x & x^2 w=y^2 w=-w \\
& w^2 y = z^2 y = y & x^2 z = y^2 z = -z \\
\end{array} $$
Yo se lo dejo a usted para comprobar que este es el ideal de un plano sub-grupo-esquema.
Durante la clausura algebraica de $\mathbb{Q}_2$, las soluciones a estas ecuaciones son las ocho matrices
$$ \begin{pmatrix} \pm 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & \pm i \\ \pm i & 0 \end{pmatrix}$$
donde $i$ es una raíz cuadrada de $-1$. (Al menos, eso espero. Si no, por favor, arreglar mi ecuaciones para que se corte este subgrupo.)
Tenga en cuenta que sólo el primer $4$ $\mathbb{Q}_2$ sí, y todos ellos se reducen a la identidad modulo $2$.
Sin embargo, $\left( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix} \right)$ resuelve las ecuaciones más de $\mathbb{F}_2$.
Si quieres un ejemplo con un grupo más pequeño (pero más ecuaciones) que usted puede lanzar en el de las relaciones de $w=z$ $x=-y$ o, alternativamente, las relaciones $w=z$$x=y$.
¿Por qué todos tus ejemplos están bien, Hay un fortalecimiento de Hensel del lema que dice: Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones con coeficientes en $\mathbb{Z}_p$. Deje que el sistema de ser plana (si establecemos $pf=0$, se $f=0$) y dejar que las soluciones más $\mathbb{F}_p$ ser suave. (Si usted no sabe lo que es liso significa en lo finito de característica, usted debe buscar en una geometría algebraica libro de texto.)
A continuación, todos los $\mathbb{F}_p$ soluciones a las ecuaciones de elevación a $\mathbb{Z}_p$. Los ejemplos clásicos que le dan, tales como el grupo ortogonal, simpléctica grupo etc, son todos suavizar $\mathbb{F}_p$. (Tal vez con algunas cuestiones técnicas acerca de la introducción de la definición de la derecha en el primer $2$.)
