Qué distancia hay entre ser compacto estelar y ser contablemente compacto？

Question

¿Qué distancia hay entre la compacidad estelar y la compacidad contable?

Un espacio topológico $X$ se dice que es compacto en estrella si siempre que $\mathscr{U}$ es una cubierta abierta de $X$ existe un subespacio compacto $K$ de $X$ tal que $X = \operatorname{St}(K,\mathscr{U})$ .

Me he dado cuenta de que cada $T_1$ espacio de compactación estelar $X$ es contablemente compacto, lo que conduce a una paradoja. Sin embargo, no sé en qué me equivoco.

Pruébalo: En todos los casos regulares $T_1$ espacio $X$ La compacidad contable es equivalente a esta condición: cada cobertura abierta finita contable de $X$ tiene una subcubierta finita ( véase el teorema 2 de Espacios pseudocompactos y contablemente compactos ). Para cualquier punto de cobertura abierta contable finita $\mathscr{U}$ de $X$ existe un subespacio compacto $K$ de $X$ tal que $St(K,\mathscr{U})=X.$ Supongamos que $X$ no es cómodamente compacta, entonces $\mathscr{U}$ no tiene subcubierta finita. Para cualquier $x_1 \in K$ existe una subcolección finita $\mathscr{U_1}$ de $\mathscr{U}$ , de tal manera que $x_1$ está en cada elemento de $\mathscr{U_1}$ y $\cup \mathscr{U_1}$ no puede cubrir $X$ . Así que existe $x_2 \in K\setminus \cup \mathscr{U_1}$ y $\mathscr{U_2}$ , de tal manera que $x_2$ en cada elemento de $\mathscr{U_2}$ y $\cup \{\mathscr{U_i}, i= 1,2\}$ no puede cubrir $X$ . Podemos trabajar en ello hasta $\omega$ ¡veces! Por lo tanto, existe un subconjunto $\{x_i:i \in \omega\}$ de $K$ que es un conjunto discreto cerrado contable de la compacta $K$ . ¡Contradicción!

Answer 1

No estoy muy familiarizado con la estrella $\mathscr{P}$ pero investigando un poco aparecen los siguientes resultados relevantes.

Los teoremas 2.1.4 y 2.1.5 de DRRT muestran que todo espacio contablemente compacto es finito estelar y que la implicación puede invertirse para los espacios de Hausdorff. Por tanto, todo espacio contablemente compacto es compacto estelar (como ya sabías). Supongamos ahora que $X$ es una estrella compacta, y dejemos que $\mathscr{U}$ sea una cubierta abierta de $X$ . Hay un compacto $K\subseteq X$ tal que $\operatorname{st}(K,\mathscr{U})=X$ . Sea $\mathscr{V}\;$ sea un subconjunto finito de $\mathscr{U}$ cubriendo $K$ claramente $\operatorname{st}(\cup\mathscr{V},\mathscr{U})=X$ . Así, $X$ es lo que se llama $1$ -estrella-compacta en la DRRT, y el Teorema 2.1.6 de la DRRT implica que $X$ es pseudocompacto. Cada $T_4$ espacio pseudocompacto es contablemente compacto, por lo que en $T_4$ -espacios los siguientes son equivalentes:

1. compacidad de la estrella
2. pseudocompacidad
3. compacidad contable
4. la finitud de la estrella.

Sin embargo, Song muestra en este documento que el espacio

$$\big(\beta\omega\times(\omega_1+1)\big)\setminus \big(\beta\omega\setminus\omega \times\{\omega_1\}\big)$$

es un espacio de Tikhonov que es compacto estelar pero no contablemente compacto. Por otra parte, el lema 2.2.10 de la DRRT implica que todo segundo espacio contable y compacto en estrella $T_3$ -el espacio es contablemente compacto y que es consistente que $\mathfrak{c}>\omega_1$ y todo primer contable, estrella compacta $T_3$ -espacio de peso inferior a $\mathfrak{c}$ es contablemente compacto.

Añadido: El error en el argumento que has añadido a la pregunta viene cuando dices

Así que existe $x_2 \in K\setminus \cup \mathscr{U_1}$ y $\mathscr{U}_2$ , de tal manera que $x_2$ en cada elemento de $\mathscr{U}_2$ y $\cup \{\mathscr{U_i}, i= 1,2\}$ no puede cubrir $X$ .

Usted sabe que $\mathscr{U}_1$ no cubre $X$ pero eso sólo significa que hay un punto $x_2\in X\setminus \cup\mathscr{U}_1$ el punto $x_2$ no necesita estar en $K$ . De hecho, después de un número finito de pasos debe llegar a un punto en el que $\cup \{\mathscr{U_i}:1\le i\le n\}$ cubre $K$ pero no $X$ y luego $x_{n+1}$ debe estar en $X\setminus K$ .