Cómo se podría ir sobre la solución de esta integral definida?

Question

Estoy teniendo problemas para resolver esta integral, he intentado usar Mathematica y Sympy, pero no tuvo suerte.

$$ \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (\Gamma_0\omega)^2} d\omega $$

Si ayuda, para el caso de interés $\Gamma_0 < \omega_0$$\Gamma_0 > 0$$\omega_0 > 0$.

Answer 1

Sugerencia:

El polinomio de cuarto grado puede ser factorizado como el producto de dos cuadrática. A continuación, el integrando se descompone en cuadrática simple fracciones con numeradores de las de primer grado. Los numeradores se puede ajustar para ser los derivados de los denominadores, y constante numeradores permanecerá. La inversa de una ecuación cuadrática se volvió, por un cambio lineal de la variable, la derivada de $\arctan$ o $\text{artanh}$, dependiendo del número de raíces reales.

Una vez que se ha factorizado el polinomio inicial, el resto es bastante manejable.

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Después de la reducción de fracciones simples, usted puede utilizar

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(px%2Bq)%2F(ax%5E2%2Bbx%2Bc)

(o la integral definida).

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Las raíces de la ecuación biquadratic

$$(a^2-\omega^2)^2+2b^2\omega^2=\omega^4+2(b^2-a^2)\omega^2+a^4=0$$

$$\omega=\pm\sqrt{b^2-a^2\pm\sqrt{(b^2-a^2)^2-a^4}}.$$

Que puede ser real o complejo. En el caso de raíces complejas, la factorización es

$$(\omega+c+id)(\omega+c-id)(\omega-c+id)(\omega-c-id)=((\omega+c)^2-d^2)((\omega-c)^2-d^2).$$

Answer 2

Preliminares

El uso de $a^2+b^2=(a+ib)(a-ib)$, obtenemos $$ \begin{align} \left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+(\Gamma_0\omega)^2 &=\left(\omega^2+i\Gamma_0\omega-\omega_0^2\right)\left(\omega^2-i\Gamma_0\omega-\omega_0^2\right) \end{align} $$ Las raíces de los dos cuadráticas son $$ \omega=\frac{\pm i\Gamma_0\pm\sqrt{4\omega_0^2-\Gamma_0^2}}2 $$ Por lo tanto, re-apareamiento de las raíces da $$ \begin{align} &\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+(\Gamma_0\omega)^2\\ &=\left(\omega^2+\omega\sqrt{4\omega_0^2-\Gamma_0^2}+\omega_0^2\right)\left(\omega^2-\omega\sqrt{4\omega_0^2-\Gamma_0^2}+\omega_0^2\right)\\ &=\left[\left(\omega+\sqrt{\omega_0^2-\tfrac14\Gamma_0^2}\right)^2+\tfrac14\Gamma_0^2\right]\left[\left(\omega-\sqrt{\omega_0^2-\tfrac14\Gamma_0^2}\right)^2+\tfrac14\Gamma_0^2\right] \end{align} $$ Luego Fracciones Parcialesda $$ \begin{align} &\frac1{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+(\Gamma_0\omega)^2}\\[12pt] &=\frac1{2\omega_0^2}\left[\frac{1+\frac\omega{\sqrt{4\omega_0^2-\Gamma_0^2}}}{\left(\omega+\sqrt{\omega_0^2-\tfrac14\Gamma_0^2}\right)^2+\tfrac14\Gamma_0^2} +\frac{1-\frac\omega{\sqrt{4\omega_0^2-\Gamma_0^2}}}{\left(\omega-\sqrt{\omega_0^2-\tfrac14\Gamma_0^2}\right)^2+\tfrac14\Gamma_0^2}\right] \end{align} $$

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Integración

Debido a la uniformidad del integrando, $$ \begin{align} &\int_0^\infty\frac1{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+(\Gamma_0\omega)^2}\,\mathrm{d}\omega\\[6pt] &=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac1{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+(\Gamma_0\omega)^2}\,\mathrm{d}\omega\\ &=\frac1{4\omega_0^2}\int_{-\infty}^\infty\left[{\small\frac{1+\frac\omega{\sqrt{4\omega_0^2-\Gamma_0^2}}}{\left(\omega+\sqrt{\omega_0^2-\tfrac14\Gamma_0^2}\right)^2+\tfrac14\Gamma_0^2} +\frac{1-\frac\omega{\sqrt{4\omega_0^2-\Gamma_0^2}}}{\left(\omega-\sqrt{\omega_0^2-\tfrac14\Gamma_0^2}\right)^2+\tfrac14\Gamma_0^2}}\right]\,\mathrm{d}\omega\\ &=\frac1{4\omega_0^2}\int_{-\infty}^\infty\left[{\small\frac{\frac12+\frac\omega{\sqrt{4\omega_0^2-\Gamma_0^2}}}{\omega^2+\tfrac14\Gamma_0^2} +\frac{\frac12-\frac\omega{\sqrt{4\omega_0^2-\Gamma_0^2}}}{\omega^2+\tfrac14\Gamma_0^2}}\right]\,\mathrm{d}\omega\\[6pt] &=\frac1{4\omega_0^2}\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d}\omega}{\omega^2+\tfrac14\Gamma_0^2}\\[12pt] &=\frac\pi{2\omega_0^2\Gamma_0} \end{align} $$

Answer 3

Mathematica 11.1 me da $$ \frac{i \pi \left(\sqrt{-i \Gamma_0 \sqrt{4 {\omega_0}^2-\Gamma_0^2}+\Gamma_0^2-2 {\omega_0}^2}-\sqrt{i \Gamma_0 \sqrt{4 {\omega_0}^2-\Gamma_0^2}+\Gamma_0^2-2 {\omega_0}^2}\right)}{\sqrt{2} \Gamma_0 \sqrt{i \Gamma_0 \sqrt{4 {\omega_0}^2-\Gamma_0^2}+\Gamma_0^2-2 {\omega_0}^2} \sqrt{\left(\Gamma_0^2-4 {\omega_0}^2\right) \left(i \Gamma_0 \sqrt{4 {\omega_0}^2-\Gamma_0^2}-\Gamma_0^2+2 {\omega_0}^2\right)}} $$ pero el imaginart parte puede ser falsas, en comparación numérica de los ensayos si las entradas son reales.