Relación entre asociados números primos y descomposición primaria de módulos no-finita

Question

Teorema 6.8(ii) p.41 en Matsumura, el Conmutativa Anillo de la Teoría, dice que si $A$ es un Noetherian anillo, $M$ finita $A$-módulo de e $N=N_1 \cap \cdots \cap N_s$ un irredundante principal de la descomposición de una adecuada submódulo $N$$Ass(M/N_i) = \left\{P_i \right\}$, $Ass(M/N) = \left\{P_1, \cdots, P_s \right\}$ donde $Ass(\cdot)$ es sinónimo de "asociados de los números primos".

De acuerdo a mi entendimiento, la prueba no utilice el hecho de que $M$ es finita $A$-módulo. Me gustaría confirmar que el enunciado del teorema 6.8(ii) es válida incluso si $M$ no es finito $A$ (sin embargo, $A$ aún debe ser Noetherian).

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\Ass}{Ass}$

Todo lo demás es consecuencia de dos hechos. El primero es el "breve secuencia exacta de propiedad" de los asociados de los números primos. Es decir, dada una secuencia exacta corta de a $A$-módulos, el $\Ass$ de la izquierda módulo está contenido en el $\Ass$ de la media, y el $\Ass$ de la media está contenido en la unión de la $\Ass$'es de los dos lados. La segunda es el hecho de que cualquier valor distinto de cero $A$-módulo tiene asociado un prime (que a su vez requiere que el $A$ ser Noetherian).

En primer lugar, para simplificar la notación, podemos mod por $N$ a asumir que $N=0$, de modo que lo que de verdad es un irredundante principal de la descomposición de los cero módulo.

Después, hay un natural homomorphism $$M \hookrightarrow \bigoplus_{i=1}^s M/N_i$$ that is injective since its kernel is $\bigcap_{i=1}^s N_i = 0$, and hence $\Culo M \subseteq \Culo \left(\bigoplus_{i=1}^s M/N_i\right) = \bigcup_{i=1}^s \Culo(M/N_i) = \{P_1, \ldots, P_s\}$ (donde la primera igualdad se sigue de la inducción en el corto secuencia exacta de la propiedad).

Para el reverso de contención, por la simetría es suficiente para demostrar que $P_1 \in \Ass M$. Considere la siguiente composición natural homomorphisms: $$ N_2 \cap \cdots \cap N_s \hookrightarrow M \twoheadrightarrow M/N_1. $$ Esta composición es una inyección. Por lo tanto, $\Ass (N_2 \cap \cdots \cap N_s) \subseteq \Ass(M/N_1) = \{P_1\}$. Pero $N_2 \cap \cdots \cap N_s \neq 0$ (por irredundancy) y desde cualquier distinto de cero $A$-módulo tiene asociado un primer, $\Ass (N_2 \cap \cdots \cap N_s) = \{P_1\}$. Pero desde $N_2 \cap \cdots \cap N_s$ es un submódulo de $M$, se deduce que el $P_1 \in \Ass M$.