Cómo obtener el determinante de $A$ en términos de tr $(A^k)$ ?

Question

Supongamos que $A$ es $n$ -matriz cuadrada tal que $t_r:=$ tr $(A^r), r=1, 2, \cdots, n$ son números reales dados. ¿Cómo calcularemos $\det(A)$ en términos de $t_r$ s?

Soy completamente incapaz de hacerlo. Por favor, ayúdenme. Gracias de antemano

Answer 1

Tienes que usar las identidades de Newton. Estas expresan varios polinomios simétricos elementales en términos de sumas de potencias.

Los polinomios simétricos elementales $s_1,s_2,...,s_n$ en $n$ variables $x_1$ ,..., $x_n$ son

$\begin{align*} s_1 &= x_1 + x_2 + ... + x_n\\ s_2 &= \sum_{1\leq i<j\leq n} x_i x_j\\ s_3 &= \sum_{1\leq i<j<k \leq n} x_i x_j x_k\\ \vdots\\ s_n &= x_1.x_2. ... x_n.\end{align*}$

Si $t_r = x_1^r + ... +x_n^r$ entonces (la mitad de) las identidades de Newton son

$\begin{align*} s_1 &= t_1\\ 2s_2 &= s_1t_1 - t_2\\ 3s_3 &= s_2t_1 - s_1t_2 + t_3\\ 4s_4 &= s_3t_1 - s_2t_2 + s_1 t_3 -t_4\\ \vdots\\ ns_n &= s_{n-1}t_1 - s_{n-2}t_2 + ... + (-1)^{n-1} t_n\\ \end{align*}$

Ahora bien, si los valores propios complejos de su matriz $A$ son $x_1,..,x_n$ entonces $t_r = Tr(A^r)$ y $det(A) = x_1.....x_n = s_n$ . Así que para calcular $det(A)$ es necesario utilizar todos los $n$ de las identidades de Newton para encontrar $s_i$ en orden como $i$ va de $1$ a $n$ .

Answer 2

Para cualquier matriz $B$ considerando el segundo término principal de su polinomio característico muestra que $\mathrm tr B$ es la suma de sus valores propios. Por otro lado, al diagonalizar y tomar $r$ muestra que si los valores propios de $A$ son (contando la multiplicidad) $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ entonces los valores propios de $A^r$ son $\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^r$ . Por lo tanto, su $t_r$ es simplemente la suma $\sum \lambda_a^r$ de la $i$ potencias de los valores propios de $A$ .

Ahora, Identidades de Newton relacionar el $t_n$ a los polinomios simétricos $$s_r := \sum_{1 \leq a_1 < \cdots < a_r \leq n} \lambda^{a_1} \cdots \lambda^{a_r}$$ en el $\lambda_a$ (por convención tomamos la suma vacía para dar $s_0 = 1$ ); considerando el término constante del polinomio característico de $A$ da que el determinante es sólo el producto de todos los valores propios $\lambda_a$ de $A$ , que por definición es sólo $s_n$ . . Las identidades se suelen dar de forma inductiva para ahorrar espacio: $$r s_r = \sum_{i = 1}^r (-1)^{i - 1} s_{r-i} t_i.$$ Esto puede ser sustituido para producir fórmulas explícitas para $\det A$ en términos de $t_r$ pero probablemente esto es prohibitivo para los grandes $n$ .

Answer 3

Algo fácil de implementar con un sistema de álgebra computacional: $\det(A)$ es el coeficiente de $t^n$ en la serie Taylor de $$ \exp(\ \mathrm{tr}(A)t - \frac{\mathrm{tr}(A^2)}{2} t^2 + \ldots + (-1)^{n-1} \frac{\mathrm{tr}(A^n)}{n} t^n\ )$$ en $t=0$ .