Vamos a empezar con el más popular de la definición de singularidad esencial:
Definición de $\bigstar$: Vamos a $U\subseteq\mathbb{C}$ ser abierto y conjunto convexo y $f:U \setminus \left\{z_{0}\right\} \longrightarrow \mathbb{C}$ ser un holomorphic función de con $z_{0} \in \mathbb{C}$. El punto de $z_{0}$ es esencial singularidad si $z_{0}$ no es una singularidad removible o un poste.
Además, tenemos los siguientes hechos que usted puede consultar en cualquier libro de análisis complejo:
Proposición 1: Vamos a $U\subseteq\mathbb{C}$ ser abierto y conjunto convexo y $f:U \setminus \left\{z_{0}\right\} \longrightarrow \mathbb{C}$ ser un holomorphic función de con $z_{0} \in \mathbb{C}$. El punto de $z_{0}$ es extraíble singularidad si y sólo si $\lim_{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})f(z)=0$.
Y
Proposición 2: Deje $U\subseteq\mathbb{C}$ ser abierto y conjunto convexo y $f:U \setminus \left\{z_{0}\right\} \longrightarrow \mathbb{C}$ ser un holomorphic función de con $z_{0} \in \mathbb{C}$. El punto de $z_{0}$ es un polo de grado $m$ si y sólo si $\lim_{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})^{m}f(z)\neq 0$ y existe.
De acuerdo a los últimos dos proposiciones podemos decir que su declaración:
... una singularidad esencial podría ser definido como un punto de $z_{0}$ de la función de $f(z)$ para los que: $$\lim_{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})^{n}f(z)$$ is not finite for any finite $$n.
es correcto siempre que aclarar que $n$ debe ser un número entero positivo.
Por otro lado, su otra declaración:
El punto de $z_{0}$ es una singularidad esencial de la función $f(z)$ si y sólo si: $$\lim_{z\rightarrow z_{0}} f(z)$$ se puede tomar al menos dos valores diferentes (tomando el punto en el infinito para ser un único valor) cuando se accede desde dos direcciones diferentes.
es incorrecto, el contraejemplo es tomar la función de $f(z)=\frac{1}{z}$, claramente $z_{0}=0$ es un polo de grado 1 de esta función, pero tenga en cuenta que si nos acercamos a $z_{0}=0$ a través de los números con parte imaginaria nula y parte real positiva, entonces la función de $f(z)$ enfoques $\infty$. Por otro lado, si nos acercamos a $z_{0}=0$ a través de los números con parte imaginaria nula y parte real negativa, entonces la función de $f(z)$ enfoques $-\infty$. Por lo tanto, $f(z)=\frac{1}{z}$ cumple con todos los requisitos de su estado de cuenta con $z_{0}=0$, pero $z_{0}=0$ no es una singularidad esencial. (vea la definición en la $\bigstar$).
Pero no todo está perdido, lo que si puedo decir es:
Si $z_{0}$ es esencial singularidad, entonces, para todos los $p,q\in \mathbb{C}$ hay secuencias de $(z^{*}_{n})_{n\in \mathbb{N}}\subseteq U$ $(z'_{n})_{n\in \mathbb{N}}\subseteq U$ tal que $\lim_{n \rightarrow \infty}z^{*}_{n}=z_{0}$, $\lim_{n \rightarrow \infty}z'_{n}=z_{0}$, $\lim_{n \rightarrow \infty}f(z^{*}_{n})=p$ y $\lim_{n \rightarrow \infty}f(z'_{n})=q$.
Esto es una consecuencia de Casorati–Weierstrass teorema.
