Técnicas de visualización $n$ espacios de dimensión

Question

¿Pueden indicarme los tipos de cosas que debería leer (soy un lego en matemáticas) si quiero aprender sobre el pensamiento actual cómo $n$ ¿se pueden visualizar los espacios dimensionales y así navegar por ellos?

Siento que esta pregunta parezca un poco vaga, pero estoy tratando de pensar en cómo navegar por los datos en muchas dimensiones y siento que los matemáticos habrían resuelto estos problemas hace muchos años.

Editar: Gracias por el debate informado: Permítanme aclarar lo que estoy buscando. Estoy buscando un modelo para navegar por los datos utilizando una pantalla de ordenador (así que 2 dimensiones). Añade una tercera dimensión (piensa en el zoom in zoom out). Ok, entonces, ¿qué pasa con $n$ dimensiones, qué técnicas podrían ayudarme a navegar por ellas mientras me limito al mundo tridimensional del modelo informático. La lectura del siguiente enlace a mathsoverflow ha sido interesante y ahora me surgen algunas ideas interesantes.

Answer 1

Cuando alguien dice "el espacio de alta dimensión es difícil de visualizar", está pensando en visualizar con los ojos . Pero los matemáticos visualizan con el cerebro ¡!

Recomiendo encarecidamente el artículo de la AMS El mundo de los matemáticos ciegos . ¿Quién podría ser mejor para visualizar cosas que no pueden ver?

Answer 2

Estoy buscando un modelo para navegar por los datos utilizando una pantalla de ordenador (por lo tanto, 2 dimensiones). Añade una tercera dimensión (piensa en el zoom in zoom out). Bien, ¿qué hay de las n dimensiones? ¿Qué técnicas podrían ayudarme a navegar por ellas mientras me limito al mundo tridimensional del modelo informático?

Hay un muy gran cantidad de trabajos publicados (tanto teóricos como aplicados) sobre visualización de datos multidimensionales (también llamado multivariante o $n$ -dimensional ). Pruebe a realizar una búsqueda en la web con estos términos. Algunos títulos de ejemplo:

• Visualización de datos científicos multivariados (Bürger & Hauser)
• Taxonomía de las estrategias de colocación de glifos para la visualización de datos multidimensionales (Ward)
• Manual de visualización de datos (Chen, Härdle & Unwin)

y así sucesivamente. El artículo de Ward (p. 10) ofrece algunos consejos cuando se visualizan datos de N dimensiones con una pantalla de 2 dimensiones, re seleccionando entre las N(N 1)/2 posibles vistas ortogonales en el espacio de N dimensiones (sin incluir las variaciones rotacionales).

Answer 3

Me gustaría decir que no se puede visualizar la dimensión superior en las matemáticas. Incluso para n=4 es imposible. Hay varias barreras que te impiden hacerlo. Si tomas los 2 manifolds tienes realmente tres objetos: la esfera, el toro y finalmente el espacio proyectivo. El problema es que incluso para superficies cerradas se podría pensar que es fácil de visualizar, sin embargo el espacio proyectivo no se puede realizar correctamente en $R^3$ es decir, que no se puede incrustar en él (esto significa que se cruza como lo hace la Botella Klein). Habría que entrar en la cuarta dimensión.

Esta es una imagen popular de la botella Klein. Pero, en realidad, ésta no debería intersecarse. Sin embargo, es imposible visualizarla porque habría que pensar en 4 dimensiones. Las matemáticas han sorteado este problema desarrollando la topología y los métodos algebraicos.

La forma ingenua de visualizar la Botella de Klein es encontrar los puntos en los que se interseca en $R^3$ y luego darles otro color y decir que están en la 4ª dimensión.

Los 3 manifolds son aún más imposibles de visualizar. Las 3 esferas se verían como una locura

No hay una forma real de visualizarlo. En realidad, todo es álgebra, principalmente teoría de grupos, mezclada con topología.

Si realmente te interesa aprender todo esto lo mejor es que cojas cualquier libro decente de Topología y lo leas. La Topología Básica de Armstrong es el mejor lugar para empezar. Me gustaría añadir que la 4ª dimensión es la dimensión más difícil de conseguir. http://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_R4

Answer 4

Su mejor pensamiento en $\mathbb{R}^2$ y 3 (nunca $\mathbb{R}$ ) para los contraejemplos, pero eso es todo realmente. Quiero decir que todo es "lo mismo", especialmente si se considera (sé que esto es álgebra, pero el punto se enfatiza más con las bolas abiertas) las bolas abiertas en $\mathbb{R}^n$ . Literalmente, todo lo que se necesita "saber" de una bola abierta se "verá" de una imagen de un disco o esfera [es decir $\mathbb{R}^2$ = unión de bolas abiertas de centro cero y radio n; resultados similares para $\mathbb{R}^n$ ]. También puede "mover" las bolas abiertas como $B(r,a) = a + rB(1,0)$ . No quiero entrar en demasiados detalles y estos ejemplos son terribles pero básicamente $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ suele estar bien para los contraejemplos, hay una descomposición obvia (aunque no "mejor") de $\mathbb R^n$ en sumas directas de los subespacios $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ (y $\mathbb{R}$ ), etc.

Evidentemente, es mejor no trabajar en $\mathbb{R}^n$ sin embargo, a menudo, $(\mathbb{Z}_p)^n$ ; vectores con entradas modulo $p$ para la primera $p$ es un ejemplo importante. Hay otros dos espacios vectoriales importantes obvios, pero ambos son fáciles de visualizar para los contraejemplos.

Answer 5

No tengo mucha experiencia con problemas en N dimensiones pero puedo sugerir una cosa: no confundir la geometría con un proceso analítico. Tampoco hay que confundir cuando se habla de análisis matemático visualizarlo con la ayuda de la geometría y viceversa.

La geometría es una rama muy antigua de las matemáticas, a veces alguien la describe como una ciencia aparte, lo que pasa es que esta disciplina nació cuando el conocimiento humano tenía que dialogar con la naturaleza muy de cerca y directamente, como fue durante la antigua egipcia o en grecia. La geometría nació de la observación de la realidad, nada más y nada menos, y la forma de expresar la geometría consiste en el uso del lenguaje matemático porque es universal e inequívoco.

El proceso analítico nace para abordar e intentar resolver otro tipo de problemas y tiene que dialogar con conceptos que no están propiamente disponibles en la naturaleza como los conceptos de aproximación, las dimensiones N, las leyes que pensamos son las correctas para describir las naturalezas, el concepto de infinito, lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande, etc.

El proceso analítico está realmente enfocado a las necesidades humanas y sólo a esto, si tienes que describir la longitud de un trozo de madera para hacer un puente con tus manos, probablemente no necesites tener una medida realmente precisa, probablemente no la necesites en absoluto, pero si tienes que abstraer ese puente en un proyecto probablemente tengas que tratar con una aproximación de esa medida, por lo que necesitas un valor, simplemente porque tienes que poner una cantidad en un papel, y gracias a esto puedes saltar de la geometría a un proceso analítico.

Simplemente no puedes imaginar más de 3 dimensiones porque N>3 no pertenece al mundo en el que estás, geométricamente hablando.