Imagen de una secuencia limitada por una función continua convexa en un espacio Banach

Question

Deje $(X, \Vert \cdot \Vert)$ ser un espacio de Banach, y $f : X \longrightarrow \mathbb{R}$ una función convexa, continua por la norma de la topología.

Supongamos que $x_n$ es una sucesión que converge débilmente a algunos $x \in X$.

Podemos decir que el $F(x_n)$ está delimitado en $\mathbb{R}$?

Es cierto que en la siguiente espacial de los casos:

1) Si $X$ es finito dimensionales. De hecho, $(x_n)$ hace relativamente compacto para que su imagen en $f$ es compacto, de donde limitada.

2) Si $f$ es Lipschitz continua en conjuntos acotados.

3) Si $f$ es débilmente continua (equivalentemente, débilmente superior-semicontinua). En el caso del que nos benift de la desigualdad de $\limsup\limits_{n \in \mathbb{N}} f(x_n) \leq f(x)$.

Creo que esta afirmación no es cierta, pero yo no soy consciente de que un contra-ejemplo.

Answer 1

Inspirado por esta pregunta (función no Lineal continua pero no acotada), se puede construir un contraejemplo de la siguiente manera:

Deje $X =c_0 (\Bbb{N})$, es decir, el espacio de null-secuencias, equipado con el sup-norma. Definir

$$ F((x_n)_n )= \sum_n x_n^{2n}. $$

Ya que la función $x \mapsto x^{2n}$ es convexa, es fácil ver que cada sumando de la serie se define un conjunto convexo, función continua. Por lo tanto, $F$ será continua y convexa, una vez que se demuestra que la serie converge localmente uniformemente.

Pero vamos a $x=(x_n)_n\in c_0$ ser arbitraria. A continuación, $|x_n|<1/4$ todos los $n \geq N$ adecuado $N$. Para$y=(y_n)_n \in c_0$$\Vert x-y\Vert <1/4$, los rendimientos de $|y_n|<1/2$$n \geq N$, por lo que la M de Weierstrass-prueba muestra que la serie la definición de $F$ converge uniformemente sobre el balón $B_{1/4}(x)$.

Ahora defina $x_n 2\delta_n$,$(\delta_n)_m =0$$n\neq m$$(\delta_n)_n =1$. El uso de $(c_0)^\ast \cong \ell^1$, vemos a $x_n \to 0$ débilmente, pero tenemos $F(x_n)=2^{2n}\to\infty$.

EDIT: Exactamente la misma construcción (incluso con un poco más fácil la prueba) también funciona si uno reemplaza$c_0$$\ell^2$. Esto muestra que el fracaso de la propiedad deseada sucede incluso para espacios de Hilbert, que son las mejores de la clase de infinitas dimensiones de los espacios de Banach que se podía esperar.