La transformación lineal en $ \mathbb {R}^7$

Question

Considere la transformación lineal en $T : \mathbb {R}^7 \rightarrow \mathbb {R}^7$ definido por $$ T(x_1,x_2,...,x_7)=(x_7,x_6,...,x_1)$$ Entonces, ¿cuáles de los siguientes son verdaderos?

1) $det(T)=1$

2) $ \exists $ una base $ \mathcal {B}$ de $ \mathbb {R}^7$ de tal manera que $[T]_ \mathcal {B}$ es diagonal

3) $T^7=I$

4) el más pequeño $n$ de tal manera que $T^n=I$ es parejo.

El intento del monte:

Un simple cálculo muestra $T^2=I$ así que 4) es verdadero y 3) es falso

Para 1): En general, el determinante de $T= (-1)^{ \text {dim V}}.( \text {constant term of the characteristic polynomial of T) }$

Así que, debemos encontrar la matriz de $T$ en cualquier base y por lo tanto encontramos el determinante de esa matriz, que es el mismo que $det(T)$

Mi pregunta es:

¿Hay algún atajo para encontrar el determinante de la T?

¿Cómo acercarse al 2)?

Estoy encontrando la matriz de $T$ con la base estándar. Pero esa matriz no es diagonal.

Answer 1

Se necesitan tres transposiciones de los siete vectores unitarios estándar de $ \mathbb {R}^7$ para crear $T$ : $ \vec {e}_1 \leftrightarrow\vec {e}_7$ , $ \vec {e}_2 \leftrightarrow\vec {e}_6$ , $ \vec {e}_3 \leftrightarrow\vec {e}_5$ . Así que $T$ es una permutación impar de los siete vectores unitarios estándar de $ \mathbb {R}^7$ . Así que es determinante es $(-1)^3=-1$ .

$T$ con respecto a la base estándar es antidiagonal con todos los $1$ s. Así que $T$ La matriz estándar de la empresa es una matriz simétrica. Así que $T$ es (ortogonalmente) diagonalizable. Eso hace que el punto 2) sea cierto.

De hecho, es fácil ver cuál es la base $ \mathcal {B}$ podría ser. Está claro que $ \vec {v}_4$ es un eigenvector de eignevalue $1$ . También lo son $ \vec {v}_1+ \vec {v}_7$ , $ \vec {v}_2+ \vec {v}_6$ y $ \vec {v}_3+ \vec {v}_5$ . Y algunos vectores propios con valor propio $-1$ son $ \vec {v}_1- \vec {v}_7$ , $ \vec {v}_2- \vec {v}_6$ y $ \vec {v}_3- \vec {v}_5$ . Estos son siete eignevectores linealmente independientes.

Answer 2

La transformación lineal dada toma la base (en el orden dado) e invierte el orden. El permutación inversa de cualquier número de elementos se logra intercambiando los elementos extremos, luego de nuevo intercambiando los extremos en los elementos restantes y así sucesivamente. (si impar número de elementos, el del medio que queda será fijo).

Ahora mira la base alternativa: $e_1+e_7, e_1-e_7, e_2+e_6, e_2-e_6, e_3+e_5, e_3-e_5, e_4$ . Es fácil verificar que generan todos los $e_i$ y están en el número correcto, por lo tanto, una base.

Podemos comprobar que $T$ sobre esta nueva base: se fijan o se envían a sus negativos. Estos son los vectores propios que forman una base, proporcionando la diagonalización. El determinante de SO se calcula inmediatamente.

Answer 3

Si $A$ es la matriz de permutación correspondiente a la permutación $ \rho $ entonces $ \det A$ es el signo de $ \rho $ .

Si $T^2=I$ ¿qué te dice eso sobre los valores propios de $T$ ?