pregunta rápida en un ejemplo de la derivada como un lineal mapa.

Question

Después de leer muchas respuestas sobre el tema siento que estoy cerca, finalmente, la comprensión de por qué la derivada es lineal en el mapa. Creo que si alguien me ayuda a entender el siguiente ejemplo podría "entrar"

Así que he a $f(x)= e^x$ $f(x)' = e^x$ no es lineal, sino que la función definida por $y \rightarrow e^x y$ es lineal, pero, ¿qué es $y$? se introdujo con el único propósito lineal mapa? Decir que me revisión de x, entonces para diferentes valores de $y$ ¿qué soy yo la informática?

Así que no debe llamar a $f(x)'$ el derivado más si la derivada es lineal en el mapa, entonces lo que debo llamar a $f(x)'$?

Answer 1

Usted está confundiendo la derivada de una función con el operador diferencial.

La derivada de una función es general no es lineal, como se muestra: $f'(x) $ puede ser igual a $x^2$, $x^{29}$, $e^x$, etc, todos los no - lineal de la función.

¿Qué es lineal es el operador diferencial: esta NO es una función, es un operador que va de un espacio de funciones a otro espacio de funciones, muy diferente^[1] que algo como $x \mapsto e^x$ que es una función y mapas de números a otros números.

Entonces, ¿qué significa, en general, para un operador (o una función) a ser lineal? Esto significa que

$$f(ax + by) = af(x) + bf(y)$$

donde $f$ es el operador, $a,b$ son números y $x,y$ elementos en el dominio de la opeator.

Así que si para una función $f:\mathbb R \mapsto \mathbb R$ lineal significa que

$$f(ax + by) = af(x) + bf(y)$$ with $a,b,x,y \in \mathbb R$ (and this then implies that $f(x) = ax + b$ for some $a,b$) for an operator $L$ que significa que

$$L(af + bg) = aL(f) + bL(g)$$ where $L$ is our operator, $a,b \in \mathbb R$ and $f,g$ son funciones en el dominio del operador.

Ahora si $L = \frac d{dx}$ es el operador diferencial que se asocia a una función de su derivado, que es $L(f) = f'(x)$, entonces se dice $\frac d{dx}$ es lineal porque

$$L(af + bg) = (af + bg)' = af' + bg' = aL(f) + bL(g)$$

Espero que sea más claro ahora.

[1] Bueno, no es muy diferente. Técnicamente son la misma cosa, sólo su dominio son diferentes (reales vs espacio de funciones). Es bueno tener en cuenta sus distinciones :)

Answer 2

Creo que de la derivada (más correctamente el diferencial) como una regla que asigna un lineal mapa a cada punto del dominio. Este lineales mapa se aproxima el cambio en el valor de la función para un pequeño desplazamiento a partir de ese punto.

En tu ejemplo, usted tiene la regla de $f'(x)=e^x$. Esta regla asigna el mapa "multiplicar por $e^{x_0}$" en el punto de $x_0$. Para cualquier valor dado de a $x_0$, esto es la multiplicación por una constante, lo que obviamente es lineal. Este lineales mapa puede entonces ser utilizado para aproximar $f(x_0+h)$$f(x_0)+e^{x_0}h$. (Yo usé $h$ en lugar de $y$ a fin de evitar confundir un desplazamiento de un punto en el dominio con un valor en la función del rango).

Answer 3

Creo que puede ser malentendido lo que se llama lineal.

No es la función de $f$ que es lineal o no, es la acción de tomar un derivado -- el diferencial operador $\frac d{dx}$ es lineal en el sentido de que

$$\frac d{dx}(a\cdot f + b\cdot g) = a\cdot \frac d{dx}(f) + b\cdot \frac d{dx}(g)$$

donde $a$ $b$ son constantes y $f$ $g$ son funciones diferenciables. Linealidad aquí significa que el operador "distribuye" a través de una suma de términos, y el multiplicativo constantes "pasar a través".

Answer 4

La linealidad de un sistema, mapa, función, etc. es probado por el principio de superposición. Por ejemplo, considere una función de $f(x)$. Es lineal si

$f(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha f(x_1) + \beta f(x_2)$.

En este caso, la derivada también es lineal operario, debido a que

$D[\alpha y_1(x) + \beta y_2(x)] = \alpha D[y_1(x)] + \beta D[y_2(x)]$.