Un ortonormales conjunto no puede ser una base en una infinita dimensión del espacio vectorial?

Question

Estoy leyendo el libro de Álgebra de Knapp y menciona de pasada que una ortonormales conjunto en una infinita dimensión del espacio vectorial es "nunca suficientemente grande" para ser un vector de espacio de base (es decir, que cada vector se puede escribir como una finito suma de los vectores de la base; tales bases de dimensión infinita espacios vectoriales en virtud del axioma de elección, pero por lo general se trabaja con conjuntos ortonormales para que infinitas sumas de rendimiento de todos los elementos del espacio vectorial).

Así que mi pregunta es: ¿cómo podemos probar esta afirmación? (Que un ortonormales conjunto en una infinita dimensión del espacio vectorial no es un espacio vectorial).

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Editar (por Jonas Meyer): Knapp dice en una nota al pie de página 92 de álgebra Básica:

En el infinito-dimensional teoría el término "ortonormales base" se utiliza para una ortonormales conjunto que abarca $V$ cuando los límites de finito de sumas de dinero se le permite, además de finito de sumas de sí mismo; cuando $V$ es de dimensiones infinitas, una base ortonormales nunca es lo suficientemente grande como para ser un espacio vectorial.

Por lo tanto, sin explícitamente el uso de la palabra, Knapp se refiere sólo a completar infinito-dimensional del producto interior de los espacios.

Answer 1

Tomar cualquier infinitas dimensiones interiores espacio del producto $V$ y cualquier ortonormales secuencia $(w_n : n \in \mathbb{N})$. Deje $W$ ser el subespacio generado por esta secuencia. A continuación, $W$ es sin duda una de infinitas dimensiones espacio vectorial (porque tiene una infinita independiente subconjunto). También se $W$ tiene una base ortonormales, debido a que el producto interior en $W$ es heredado de $V$ e lo $(w_n)$ es todavía un ortonormales secuencia en la $W$. Esto significa que el teorema se han sugerido, "un ortonormales conjunto en una infinita dimensión del espacio vectorial no es un espacio vectorial de base", no es cierto.

Lo que yo creo que puede ser cierto es que no infinito dimensional completa del producto interior el espacio tiene una base ortonormales. Esta es la pregunta que Andrey Rekalo abordado en otra respuesta.

Answer 2

Como ya se ha mencionado en las otras respuestas y comentarios, esto es cierto si el espacio se supone que para ser completa (ver Andrey Rekalo de la respuesta), pero no necesariamente lo contrario (véase Carl Mummert la respuesta). En el caso, más se puede decir. Si el espacio de Hilbert de dimensión (cardinalidad de un máximo de ortonormales set) es infinito, entonces la dimensión lineal (cardinalidad de un máximo linealmente independientes set) es de al menos $\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}=|\mathbb{R}|$. Por supuesto, este directamente no dicen nada si el espacio de Hilbert de dimensión es $\mathfrak{c}$ o más, pero en el caso de Hilbert separables espacios como $\ell^2$ (como se define aquí), le dice que no sólo una ortonormales conjunto no es útil, pero no subconjunto de cardinalidad menor que $\mathfrak{c}$ puede abarcar. Una forma de ver esto es considerar el conjunto linealmente independiente $\{(1,t,t^2,t^3,\ldots):-1\lt t\lt 1\}\subset\ell^2$. Desde $\ell^2$ imbeds en cada infinitas dimensiones espacio de Hilbert como el cerrado lineal útil de las countably infinito ortonormales conjunto, esto también demuestra el hecho general. Esta y otras pruebas se pueden encontrar en las soluciones para el Problema 7 de Halmos del Espacio de Hilbert Problema del Libro, que recomiendo encarecidamente. Esta declaración también se extiende a los espacios de Banach.

Estrictamente hablando, lo que he dicho hasta ahora no ha contestado a su pregunta en el caso de espacio de Hilbert de dimensión mayor o igual a $\mathfrak{c}$. Sin embargo, usted puede conseguir un exceso de solución a su pregunta por tomar un countably infinito subconjunto $A$ de un ortonormales subconjunto de cualquier espacio de Hilbert $H$. Si $M_0$ es el lineal lapso de $A$ $M=\overline{M_0}$ es el cierre lineal lapso de $A$,$H=M\oplus M^\perp$, mientras que el lineal útil de sus ortonormales conjunto está contenido en $M_0\oplus M^\perp$, el cual está debidamente incluida en $H$ porque $M$ es el de mayor dimensión de $M_0$. ($M^\perp$ denota el conjunto de vectores ortogonales a cada elemento de a $M$, e $\oplus$ se utiliza aquí para indicar interna directa sumas de dinero.) Todo lo que era realmente necesario aquí es que la dimensión lineal de $M$ no es contable, y esto también se deduce a partir del teorema de Baire.

Andrey Rekalo da una mejor, nonoverkill respuesta para el caso completo.

Answer 3

Edit. La respuesta se supone que se trabaja en un espacio de Hilbert.

Deje $\mathcal A$ denota el conjunto de vectores ortonormales. Entonces para cualquier ortonormales secuencia $(e_n)\subset\mathcal A $, el elemento $$u=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}e_n$$ no puede ser representada como una suma finita de vectores de $\mathcal A$.