Muestran que este proceso estocástico es una.s. estrictamente positivo.

Question

Considere la posibilidad de la uno-dimensional SDE $$ dX_t = f(X_t)dt + \sigma(X_t)dW_t,\quad X_0 = 1, $$ donde $W_t$ es un movimiento Browniano en virtud de la medida $\mathbb{P}$, en su estado natural de filtración. Supongamos que $f(x)-\sigma^2(x)/2x=0$$\sigma^2(x)\le x^2$. Mostrar que $X_t>0$ casi seguramente.

Mi primer intento fue el de analizar el registro de proceso $\log(X_t)$. Usando el lema de Ito uno encuentra $$ d\log(X_t) = \frac{1}{X_t}\left(f(X_t) - \frac{\sigma^2(X_t)}{2X_t}\right)dt + \frac{\sigma(X_t)}{X_t}dW_t = \frac{\sigma(X_t)}{X_t}dW_t. $$ La integración nos lleva ahora a $$ \log(X_t)=\int_0^t\frac{\sigma(X_s)}{X_s}dW_s. $$ Por el Ito isometría, la varianza del proceso anterior está limitada por $t$: $$ \text{Var}\big[\log(X_t)\big] = \mathbb{E}\left[\int_0^t\frac{\sigma^2(X_s)}{X_s^2}ds\right] \le t. $$ Siento que esto va en la dirección correcta, pero yo estoy luchando para ver cuál es el siguiente paso. Cualquier sugerencia será muy bienvenida.

Answer 1

Definir los tiempos de parada por

$$T_k := \inf\{t \geq 0; X_t \leq k^{-1}\}, \qquad k \in \mathbb{N}$$

y

$$T := \inf\{t \geq 0; X_t \leq 0\}.$$

Siguiendo el razonamiento en su pregunta, nos encontramos con que

$$\mathbb{E} \left( \left| \log(X_{t \wedge T_k}) \right|^2 \right) \leq t.$$

Por la continuidad de la muestra caminos de la $(X_t)_{t \geq 0}$,$X_{T_k}(\omega) = k^{-1}$$\omega \in \{T_k<\infty\}$, y por lo tanto, tenemos que

$$\mathbb{E} \bigg( 1_{\{T_k \leq t\}} \underbrace{|\log(X_{T_k})|^2}_{=|\log(k^{-1})|^2} \bigg) \leq t.$$

Desde $\{T \leq t\} \subseteq \{T_k \leq t\}$ esto demuestra, en particular, que

$$\mathbb{E}\left(1_{\{T \leq t\}} |\log(k^{-1})|^2 \right) \leq t,$$

es decir,

$$\mathbb{P}(T \leq t) \leq \frac{t}{|\log(k^{-1})|^2}.$$

Como $|\log(k^{-1})|^2 \to \infty$ $k \to \infty$ llegamos a la conclusión de que $\mathbb{P}(T \leq t)=0$. Como $t>0$ es arbritrary, esto demuestra la afirmación.