Grupo isomorfo a todos su correcto cocientes, y no simple

Question

Deje $G$ ser un grupo tal que para cualquier subgrupo normal $H \subset G$, $G/H \cong G$ (por supuesto, este isomorfismo no puede ser dado por la proyección de $G \to G/H$). De lo anterior se sigue que el $G$ es un simple grupo? ¿Qué podemos decir acerca de un grupo de $G$ en general?

Observe que $G/H \cong G$ no implica que se $H = \{e\}$, por ejemplo, $z \mapsto z^2$ es un surjective de morfismos $\Bbb C^{\times} \to \Bbb C^{\times}$ de kernel $\{\pm 1\}$.

Answer 1

$\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$$\newcommand{\Set}[1]{\left\{ #1 \right\}}$El Prüfer $p$-grupo no es sencillo, y satisface su hipótesis.

Dado un primer $p$, te das cuenta de como el subgrupo del grupo multiplicativo $\C^{*}$ dada por \begin{equation*} G = \Set { z \in \C^{*} : z^{p^{k}} = 1 \ \text{for some %#%#%}}. \end{ecuación*}