Estoy teniendo un problema con el teorema sobre la incomparability de primer ideales integral anillo extensiones, lo que he dicho de la siguiente manera:
Deje $ R \subseteq S$ ser una parte integral de extensión de anillos conmutativos (con identidad), y supongamos que $P_{1} \subseteq P_{2}$ son los principales ideales de la $S$ tal que $R \cap P_{1} = R \cap P_{2} $, $P_{1} = P_{2}$
La prueba de que se requiere el siguiente lema:
Deje $R \subseteq S$ ser una parte integral de extensión de anillos conmutativos (con identidad), con $S$ integral de dominio. Si $I$ es un no-cero ideal de $S$,$R \cap I \neq \{ 0 \}$.
La prueba se desarrolla como sigue:
Deje $Q = R \cap P_{1} = R \cap P_{2}$. A continuación, $R / Q \subseteq S / P_{1}$ es una parte integral de extensión con $P_{2} / P_{1}$ un ideal de dominio $S / P_{1}$ tal que $P_{2} / P_{1} \cap R / Q = Q / Q = \{ \bar{0} \} $, y por tanto, por el lema $P_{2} / P_{1}$ es el cero ideal de $S / P_{1}$. Por lo tanto $P_{2} \subseteq P_{1} \subseteq P_{2}$ $P_{1} = P_{2}$
Mi problema con esto es que esta prueba sólo parece requerir la primalidad de $P_{1}$, desde el único lugar que primalidad es necesario asegurarse de que $S / P_{1}$ es un dominio de modo que podemos aplicar el lema. Estoy en lo cierto que la primalidad de $P_{2}$ no es necesario en la declaración de incomparability? Y si es así ¿hay una razón por la que se declaró como en la necesidad de $P_{2}$ a ser el primer demasiado?
$\textbf{Edit: }$ He publicado esto como un comentario más abajo, pero pensé que podría ser interesante para replicar esta aquí, ya que sirve como mi motivación para hacer esta pregunta, y ofrece un ejemplo concreto de donde esta fuerte / generalizadas en el formulario de la declaración de incomparability es útil. Sin embargo, yo sí reconocen que, como se menciona a continuación, no es difícil modificar esta prueba que nos permita aplicar la forma típica de incomparability.
$\textbf{Claim: }$ Integral de extensión de un Jacobson Anillo es un Jacobson Anillo.
$\textbf{Proof :}$ Deje $R \subseteq S$ ser una parte integral de extensión de anillos y deje $I$ ser un primer ideal de $S$. Entonces a partir de la $R$ es Jacobson, y $(I \cap R)$ es un primer ideal de $R$, no son máximos ideales de $R$, $\{ M_{i} \}_{i=1}^{l}$ decir, que $(I \cap R) = \cap_{i=1}^{l} (M_{i})$. A continuación, para cada una de las $i$ la cadena de $(I \cap R) \subseteq M_{i}$ es una cadena de primer ideales de $R$ $I$ un primer ideal de $S$ tendido sobre $(I \cap R)$, y por tanto, por la subida teorema existen ideales primos de $S$, $\{ N_{i} \}_{i=1}^{l}$ decir, cada una conteniendo $I$ y cada mentir sobre sus respectivos $M_{i}$. A continuación, $N_{i}$ es un alojamiento ideal se encuentra por encima del máximo ideal, por lo que es en sí misma máxima. A continuación, vamos a $I' = \cap_{i=1}^{l} (N_{i})$. A continuación, $I \subseteq I'$ son ideales de a $S$ $I$ primer y $$ (I' \cap R) = ( \carpeta cap_{i=1}^{l} (N_{i})) \cap R = \carpeta cap_{i=1}^{l} (N_{i} \cap R) = \carpeta cap_{i=1}^{l} (M_{i}) = (I \cap R) $$ y así por el más general de la forma de incomparability, notando crucialmente no he probado primalidad de $I'$, podemos ver que $I = I'$. Por lo tanto $I$ es una intersección finita de máxima ideales de $S$, y así desde $I$ fue arbitraria en $S$ entre el primer ideales de $S$, podemos ver que $S$ es Jacobson.
$\textbf{ Remark: }$ Mi prueba aquí también utiliza una forma más específica de la teorema de que el que me brindó. La declaración de la teorema tengo afirma que si $ \{Q_{i}\}$ es estrictamente creciente de la cadena de primer ideales en $R$, entonces no es estrictamente una creciente cadena de prime ideal en $S$, $ \{P_{i}\}$ decir, que $P_{i} \cap R = Q_{i}$. Sin embargo, dado que la prueba de esto es inductivo, y se empieza por la elección de un primer ideal $P_{1}$ (cuya existencia está garantizada por un simple lema) en $S$ tendido sobre $Q_{1}$, vemos que, de hecho, si ya hemos completado parcialmente de la cadena en $S$ podemos ir hasta completarlo. Que es exactamente lo que he hecho en la prueba anterior.
