Adoquines conformados

Question

Pregunta abierta:

Me parece que el patrón de adoquines conocido como Bogen, que puede verse en muchas ciudades europeas, es una representación bastante exacta del mapeo conforme definido por la función compleja $f(z) = \ln(z)$ :

Los mapeos conformes son una buena base para este tipo de patrones debido a su propiedad de preservar los ángulos, lo que significa que una cuadrícula cuadrada se mapea en una cuadrícula ortogonal curvilínea que puede construirse fácilmente a partir de una disposición de adoquines cuadrados (setts).

Las curvas del patrón Bogen son catenarias de igual fuerza . Son descritos por $\xi = c - \ln{\cos{\eta}}$ y $\xi = c - \ln{\sin{\eta}}$ , donde $f(z) = \xi + i\eta$ y $c$ es una constante real.

Otras funciones de mapeo conformado que suelen verse en los adoquines son $f(z) = z$ (rectilínea) y $f(z) = e^z$ (circular). Pero, ¿qué otras funciones serían adecuadas y cuáles se han utilizado realmente?

[Edición: las definiciones de las funciones se han invertido para ajustarse a la convención habitual].

Answer 1

No estoy seguro de cuáles se han utilizado, pero pueden ser interesantes:

1. $f(z) = \sin(z)$ :

Las líneas verticales y horizontales se convierten en hipérbolas y elipses.

2. Otro mapa interesante es $f(z) = z + \frac{1}{z}$

Aquí está la fuente a estas imágenes que también explican de manera más profunda.

3. También le puede interesar Transformaciones de Möbius que asigna círculos y líneas a círculos y líneas: https://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY

Otro artículo interesante relacionado: http://resonanceswavesandfields.blogspot.co.il/2011/04/5-detailed-conformal-mappings.html