La existencia de surjective grupo homomorphism con finito del núcleo

Question

El siguiente viene de el libro de la Teoría de Teichmüller por Hubbard. Durante la prueba de una proposición se utiliza el siguiente tipo de argumento para decir que existe un surjective homomorphism con finito del núcleo, pero no entiendo por qué esto demuestra un mapa de existir.

Antes él se había mostrado algo de espacio $X_n^*$ que $H^1(X_n^*; \mathbb{R}) = \mathbb{R}$. Entonces va a decir que desde la $H^1(X_n^*; \mathbb{R}) = \mathrm{Hom}(H_1(X_n^*; \mathbb{Z}), \mathbb{R})$ y desde $H_1(X_n^*; \mathbb{Z})$ es un finitely generado Abelian grupo, no debe ser un surjective homomorphism $H_1(X_n^*; \mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}$ con finito del núcleo.

¿Por qué hace esto implica que exista un surjective mapa con finito del núcleo?

Answer 1

Si $G$ es un finitely generado Abelian grupo, a continuación, $G\cong\Bbb Z^m\times A$ donde $A$ es un grupo finito y $m$ (el rango de $G$) es no negativo entero. A continuación,$\textrm{Hom}(G,\Bbb R)\cong \Bbb R^m$$G=H_1(X_n^*,\Bbb Z)$, el rango se $m=1$. Entonces hay una surjection de $G$ $\Bbb Z$con kernel $A$.