Si $p^k|n!$ $p!^k|n!$

Question

Hay una prueba directa de que el resultado que si $p$ es un primer y el si $p^k|n!$$p!^k|n!$? La prueba de que sé que es más tortuosa (tome $k$ a ser dada por de Polignac la fórmula y la construcción de un subgrupo de $S_n$ orden $p!^k$). El resultado parece demasiado elegante para no admitir una mancha de la combinatoria de la prueba.

Answer 1

Inducción en $n$: Si $n=mp+r$$0\le r<p$, $\frac{n!}{p!^mr!m!}$ formas de partitoin $n$ objetos en $m$ indistinguibles de los subconjuntos de tamaño $p$ cada uno y un descanso de tamaño $r$. Tenga en cuenta que $p^{k-m}\mid m!$ (debido a la cantidad de $p$ entre $1,2,\ldots, n$ son, precisamente,$p,2p,,\ldots, mp$) y por hipótesis de inducción $p!^{k-m}\mid m!$. Por lo tanto $p!^n\mid p!^mm!\mid n!$.

Answer 2

No he sido capaz de demostrar esto en general. Pero en el caso especial

al $k<p$, lo cual implicará $pk \le n$,

Así, el no. de maneras de dividir $n$ objetos en $k+1$ diferentes cuadros que $k$ cajas contienen $p$ objetos, mientras que 1 cuadro de contener $n-pk$ objeto es

$\frac{n!}{(p!)^k\times(n-pk)!}$

A partir de aquí tenemos que $(p!)^k|n!$

Answer 3

Estaba hablando con algunos amigos acerca de este problema y nos encontramos con una prueba directa de que (apenas) evita el uso de Polignac la fórmula.

Para cada factor de $p$$n!$, deseamos grupo que el factor de $p$ con algo divisible por $(p-1)!$. El grupo el primer factor de $p$ división de un número $x\in\{1,\ldots,n\}$ con los números de $x-1,x-2,\ldots,x-(p-1)$. El grupo el segundo factor de $p$ división de un número $px\in\{1,\ldots,n\}$ con los números de $x-1,x-2,\ldots,x-(p-1)$. Estos son precisamente lo que se sobrantes de los números de $px-p,px-2p,\ldots,px-(p-1)p$ después de el primer paso. La repetición de este proceso, el grupo de la $(k+1)$-st factor de $p$ división de un número $p^kx\in\{1,\ldots,n\}$ con los números de $x-1,x-2,\ldots,x-(p-1)$. Estos son precisamente lo que se sobrantes de los números de $p^kx-p^k,p^kx-2p^k,\ldots,p^kx-(p-1)p^k$ después $k$th paso. Sin embargo, el coeficiente binomial $$\binom{x-1}{p-1}=(x-1)(x-2)\ldots(x-(p-1))/(p-1)!$$ es un número entero. Esto demuestra que cada grupo es divisible por $p!$. También, cada factor de $p$ $n!$ está contenida en algún grupo y cada grupo contiene exactamente un factor de $p$. Esto muestra que si $p^k|n!$$p!^k|n!$.

Todavía no es bastante la mancha combinatoria prueba de que yo estaba buscando, pero está bastante cerca.