¿Cómo combinar el concepto de velocidad térmica y la relatividad especial?

Question

Sabemos que en la termodinámica clásica $$v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$$ Sin embargo, inmediatamente vemos que esto es incorrecto para las altas temperaturas, ya que no hay un límite superior para la velocidad. ¿Cómo puedo obtener la ecuación exacta?

Mi enfoque

Lo tenemos, $E = \sqrt{m_o^2c^4 + p^2c^2}$

Ahora a partir de la energía térmica tenemos que la energía total es (suma de la energía en reposo y la energía térmica) $E = m_o c^2 + \frac{3}{2}k_B T$

Así, $$m_oc^2 + \frac{3}{2}k_B T = \sqrt{m_o^2c^4 + p^2c^2}$$

Aquí, $p = mv$ & $m = \frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $

Entonces podemos resolver para $v$ $ ( \sim v_{rms})$

No estoy seguro de que esto sea correcto. ¿Puede alguien corregirme? ¿Puede darme al menos el resultado final si no la conducción completa?

Answer 1

La suposición de que la energía térmica es $\frac{3}{2}k_bT$ en realidad sólo es válida a temperaturas no relativistas. En general, tenemos que utilizar el teorema de equipartición para encontrar la relación entre la temperatura y la energía:

\begin{equation} \left< x_m \frac{\partial E}{\partial x_n} \right> = \delta_{mn} k_BT, \end{equation} donde $x$ puede ser una coordenada o un momento conjugado.

Tomando el caso unidimensional para simplificar, en el régimen newtoniano, $E = \frac{mv^2}{2}$ para que $v=\sqrt{\frac{k_BT}{m}}$ . Pero en el caso relativista, $E = \sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4}$ . Esto significa que

\begin{equation} \frac{c^2p^2}{\sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4}} = k_BT, \end{equation} así que \begin{equation} p^2 = \frac{k_B^2T^2c^2 \pm \sqrt{k_B^4T^4c^4 + 4k_B^2T^2m_0^2c^8}}{2c^4}. \end{equation}

Como $T \rightarrow \infty$ obtenemos $p = k_BT/c$ o $E=k_BT$ (ya que el término de masa en la energía se vuelve despreciable en comparación con el momento). Esta es la conocida ecuación de la energía para el gas ultrarrelativista . Como $T \rightarrow 0$ obtenemos $v = \sqrt{\frac{k_BT}{m_0}}$ el resultado newtoniano.

Answer 2

Lo que se busca es la media de los Distribución Maxwell-Jüttner , $$f(\gamma)=\frac{\gamma^2\beta}{\theta K_2(1/\theta)}e^{-\gamma/\theta}$$ donde $\beta=v/c=\sqrt{1-1/\gamma^2}$ , $\theta=k_BT/mc^2$ y $K_2$ es la función de Bessel del segundo tipo.

Por lo tanto, lo esperado $\gamma$ sería $$E[\gamma]=\frac{1}{\theta K_2(1/\theta)}\int_1^\infty \gamma^3 \left (\sqrt{1-1/\gamma^2} \right )e^{-\gamma/\theta}d\gamma$$ Por desgracia, no parece haber ninguna fórmula cerrada para ello. Aquí hay un gráfico de mis resultados numéricos en Matlab:

Aquí hay una derivación de distribuciones anisotrópicas de Maxwell-Jüttner que puede ser útil o no.

Answer 3

Si estoy en lo cierto, la distribución Maxwell-Jüttner tiene

$$E[\gamma]=\frac{1}{\theta K_2(1/\theta)}\int_1^\infty \gamma^3 \left (\sqrt{1-1/\gamma^2} \right )e^{-\gamma/\theta}d\gamma=\frac{K_1\left(\frac{1}{\theta}\right)}{K_2\left(\frac{1}{\theta}\right)}+3\theta,$$

donde $K_n$ es una función de Bessel modificada del segundo tipo.