Permita que$(X,\tau)$ sea un espacio topológico tal que para cada conjunto abierto (no vacío)$U$,$U \subseteq V$ implica$V$ esté abierto. ¿Hay un nombre para espacios topológicos con esta propiedad? Una búsqueda rápida en Google no terminó nada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No sé el nombre de su propiedad, pero tal vez pueda ayudar a describir en términos de la más familiar de las construcciones.
Claramente, un espacio discreto tiene su propiedad. También, si $\mathcal F$ es un filtro adecuado en $X,$ $\tau=\mathcal F\cup\{\emptyset\}$ es una topología en $X$ a que su propiedad. Me dicen que estos son los únicos ejemplos.
La reclamación. Si un espacio topológico $(X,\tau)$ tiene la propiedad de "todo subconjunto de un conjunto abierto no vacío está abierto", entonces cualquiera de las $\tau=\mathcal P(X)$ (es decir, la topología discreta), o bien $\tau=\mathcal F\cup\{\emptyset\}$ donde $\mathcal F$ es un poco de filtro en $X.$
Prueba. Supongamos $\tau\ne\mathcal P(X);$ me tiene que demostrar que $\tau\setminus\{\emptyset\},$ la colección de todos vacío abierto conjuntos, es un filtro adecuado en $X.$ La única que no sea trivial paso consiste en demostrar que la intersección de dos vacío abierto conjuntos es vacío. Deje $U,V$ ser cualquiera de los dos no vacío abierto conjuntos. Elegir un conjunto $S\in\mathcal P(X)\setminus\tau.$ $S\cup U$ $S\cup V$ están abiertos conjuntos, y por lo $S\cup(U\cap V)=(S\cup U)\cap(S\cup V)$ está abierto. Desde $S$ no está abierto, se puede concluir que el $S\cup(U\cap V)\ne S,$ $U\cap V\ne\emptyset.$
