Un conjunto de$n$ vectores es una base si y solo si ...

Question

Cada conjunto de $n+1$ vectores en un $n$-dimensional espacio vectorial $V$ es linealmente dependiente. Un conjunto de $n$ vectores en $V$ es una base si y sólo si es linealmente independiente, o, alternativamente, si y sólo si cada vector en $V$ es una combinación lineal de los elementos del conjunto. (Halmos pg 14)

Tengo una pregunta acerca de la segunda parte. Si cada vector es una combinación lineal de los elementos de la lista no que los hacen dependientes? Así que como no podía ser de base?

Answer 1

Usted tiene que leer cuidadosamente. Comienza diciendo: "un conjunto de $n$ vectores". Vamos a llamar a ese conjunto de $n$ vectores $S$. A continuación, $S$ es un subconjunto de a $V$. Por lo tanto, parte de esta afirmación dice:

cada vector en $V$ es una combinación lineal de los elementos de $S$.

Si un vector $v$ $S$ es una combinación lineal de los miembros de $S$ otros de $V$ sí, a continuación, $S$ es linealmente dependiente. Pero no dicen que cada vector en $S$; se dice que cada vector en $V$, por lo que no se hagan $S$ linealmente dependiente. Hace $V$, no $S$, linealmente dependiente.

Answer 2

Que $S={v_1,\dots,v_k}$ ser una base para el $k$-dimensional espacio del vector $V$.

Dice que la segunda parte es que si $v\in V$, entonces el $v=\sum_\limits{i=1}^k c_iv_i$ $c_i$.

Cada $v_i$de % individual no puede ser construido de los restantes elementos de $S$, $|S|=k$, por lo tanto $s$ es una base.